2.4. Основи теорії плавання

Задача № 2.41. Прямокутна металева баржа довжиною L = 60 м, шириною в = 8 м, висотою h = 3,5 м, завантажена піском, важить G = 14125 кН. Визначити осадку баржі у. Який об’єм піску V_п треба вивантажити, щоб глибина занурення баржі була h₂ = 1,2 м, якщо відносна питома вага вологого піску  = 2.

Рішення: умова плавання баржі можна записати як P_z = G, де P_z = _вW₀;

де W₀ – водозміщення. Тоді _ввLу = G, звідки

= = 3 м.

Знайдемо значення P_z2 після вивантаження піску:

P_z2 = _ввL h₂ = 98108601,2 = 5650560 Н.

Вагу вивантаженого піску знайдемо як:

G_п = G - P_z2 = 14126000-5650560 = 8475440 Н.

Оскільки питома вага піску _п = 2_в, то = = 432 м³.

2.5. Рівняння д. Бернуллі

Задача № 2.48. Поршень діаметром D = 270 мм рухається рівномірно вниз в циліндрі, подаючи рідину Ж (гас) у відкритий резервуар з постійним рівнем (рис. 2.25). Діаметр трубопроводу d = 90 мм, його довжина l = 27 м. Коли поршень знаходиться нижче рівня рідини в резервуарі на Н = 5 м, то потрібна сила для його переміщення F = 27700 Н. Визначити швидкість поршня і витрату рідини в трубопроводі. Побудувати напірну та п’єзометричну лінії для трубопроводу. Коефіцієнт гідравлічного тертя прийняти λ = 0,03. Коефіцієнт опору при вході в трубу ζ_вх = 0,5. Коефіцієнт опору при виході в резервуар ζ_вих = 1,0.

напірна лінія

п’єзометрична лінія

Рис. 2.25

Рішення: Складемо рівняння Бернуллі для перерізів 1-1 и 2-2 та визначимо їх складові:

.

Складові: z₁ = 0; α₁ = 1; z₂ = Н; Р₂ = Р_н = 0 (надмірний тиск); V₂ = 0;

- місцеві втрати напору, м;

- втрати напору по довжині.

Із рівняння нерозривності потоку:

Перепишемо рівняння Бернуллі з врахуванням отриманих вище даних:

де V – швидкість руху рідини в трубопроводі, м/с;

V_п – швидкість руху поршня, м/с.

ρ - густина гасу, кг/м³.

Умова рівноваги сил для поршня D:

,

з якого знайдемо значення надмірного тиску Р₁:

Па

З рівняння (1) знайдемо швидкість руху поршня V_п:

м/с

Знайдемо швидкість рідини в трубопроводі:

10,2 м/с

Тоді витрата рідини в трубопроводі:

м³/с.

Побудуємо п’єзометричну і напірну лінії (див. рис.):

- над поршнем п’єзометрична лінія:

м

- напірна лінія над поршнем:

м

- напірна лінія над трубою:

м

- втрати напору на вході в трубу:

м

- втрати напору по довжині трубопроводу:

м

- втрати напору на виході з резервуару:

м

Відповідь: V_п = 1,129 м/с, Q = 0,0646 м³/с.

Задача № 2.49. Визначити діаметр d₂ звуженої частини трубопроводу, в якому надмірний тиск р₁ = 50·10^-3 Па. Витрата води Q = 0,021·10^-3 м³/с, діаметр d₁ = 125 мм, висота h_вак = 2,5 м. Втратами напору знехтувати.

Рішення: Нехтуючи втратами напору, запишемо рівняння Бернуллі

,

Оскільки ;

м².

Тоді м/с

Вакуумметричний тиск визначимо як:

,

м

,

м/с

м²

м = 30 мм.

Задача № 2.50. Нехтуючи втратами напору, визначити діаметр горловини d₂ (рис. 2.26), щоб при пропусканні витрати води по трубопроводу Q = 8,8 л/сек вода по труці піднімалась на висоту h_вак = 55 см. Діаметр трубопроводу d₁ = 100 мм, а абсолютний тиск в перерізі 1-1 р₁ = 102 кПа.

Рис. 2.26

Рішення: Складемо рівняння Бернуллі для перерізів 1-1 і 2-2, прийнявши за площину порівняння вісь труби:

.

Знайдемо складові даного рівняння. По визначенню вакуумметричний тиск р_вак = р_атм – р₂; звідки р₂ = р_атм – р_вак. Тиск р_вак = h_вак = 0,559810 = 5395 Па.

Тоді р₂ = 98100 - 5395 92700 Па.

Знайдемо швидкість руху рідини в першому перерізі при Q = 8,8 л/сек =

= 8 800 см³/сек

см/сек = 1,12 м/сек.

З рівняння Бернуллі швидкість = = 4,46 м/сек.

Визначимо діаметр горловини:

м = 5 см.

Задача № 2.51. Визначити швидкість руху води на вісі труби и_макс, якщо різниця показів між динамічною а і статичною б трубками, яка визначена по показах ртутного диференціального п’єзометра, складає h = h₁ = 1,5 см (рис. 2.27).

Рис. 2.27

Яким буде співвідношення швидкостей в точках А і В, якщо в точці В різниця показів h = h₂ = 1,3 см. Втратами напору в трубці знехтувати.

Рішення: Запишемо рівняння Бернуллі для даного випадку

.

Після скорочення отримаємо:

.

Отже, при відсутності втрат напору в трубці

м/сек.

Співвідношення швидкостей в точках А і В

,

тобто швидкості в різних точках відносяться одна до другої як квадратні корені із висот стовпів рідини в диференціальному п’єзометрі.