1) Болса -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз деп;

2) Болса мен бірдей ретті ақырсыз аз деп;

3) Болса мен эквивалентті ақырсыз аз деп

аталады.

мен эквивалентті дегенді ~ деп жазады.

Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, онда

1. , ,

, ; 2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. .

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. .

1.-5. қатынастар эквивалентті функциялар кестесін береді. Бұл кестені шек есептеу кезінде мына теоремаға сүйеніп қолдануға болады

27. y=f(х) функциясының қандай да бір х₀ нүктедегі үзіліссіздігінің анықтамасы.

Нүктеде үзіліссіз функция қасиеттері.

Біржақты шектер. .

функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни , функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер

.

Сонда функция үзіліссіздігінің анықтамасын былай да айтуға болады: Берілген нүктеде аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның да ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, яғни

функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

функциясы қандай да бір аралықтың үзіліссіз болуы үшін, ол сол аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болуы керек.

Үзіліссіз функция қасиеттері.

1. функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады және

.

2. Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады.

Біржақты шектер ұғымын енгізейік.

Айталық және , онда деп жазады, ал осы жағдайдағы шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның оң жақты шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты шектерін біржақты шектер дейді

28. Үзіліс нүктелері, үзіліс түрлері.

функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни , функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер

.

Түрлері:

Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды.

Анықтама. Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады.

29. y=f(х) функциясының х₀ нүктедегі туындысының анықтамасы . Туындының геометриялық мағынасы.

Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған .

кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:

Туындының геометриялық мағнасы. y=f(x) функциясы

х₀ нүктесінде дифференциал- дансын. Осы функцияның қатынасы бұрыштың тангенсіне тең. жағдайда

.

жағдайда М₀М қима функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанамаға айналады. Ал tg жанаманың (түзудің) бұрыштық коэффициенті, яғни

k= tg .

Сонымен, туындының геометриялық мағнасы: туынды дегеніміз y=f(x) функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті:

k= tg = (2)

Сонда y=f(x) функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі мынадай түрде жазылады:

y- = (x-x₀) (3)

Үзіліссіздік пен дифференциалдану арасындағы байланыс.

Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді.

(а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады

30. Дифференциалдаудың негізгі ережелері.

Күрделі, кері функциялар туындысы.

Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілгенх нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1)

2) , C=const

3)

4) .

5. f(u(x)) күрделі функция туындысы:

.

5. y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы:

.

5. Айқын емес түрде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы:

.

5. Дәрежелі-көрсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік, .

Екі жағынан туынды аламыз,

.

Сонымен

.

31-билет. Дәрежелі көрсеткіштің y=[f(x)] ф-я туындысы алдымен берілген теңдеудің екі жағын лагорифмдейміз ln[f(x)] = g(t)ln[(fx)]

32-билет. y’=f(х)-1 ретті туынды, 1-ші ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2ші ретті туындысы д.а. “y”.

33-билет. f(x) және g(x) функциялары ( ) жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады:

.

34-билет. Функция экстремумы. Функция экстремумының қажетті және жеткілікті шарты М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның минимум нүктесі деп аталады.

1.Экстремумның қажетті шарты. М(х₀,у₀) нүктесі z= f(x, y) функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедегі функцияның дербес туындылары нолге тең: , .

2.Экстремумның жеткілікті шарты. z= f(x, y) функциясы: 1) дербес туындылары нолге тең болатын , , М(х₀,у₀) нүктесінің маңайында анықталған болсын; 2) функцияның осы нүктеде екінші ретті үзіліссіз туындылары бар, , , . Онда, егер болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум бар, және егер A<0 – максимум, A>0 – минимум; ал болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум жоқ; болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремумның бар жоқтығы белгісіз.

35-билет. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды.

Функция дөңестігінің жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс таңбалы болса, функция графигі осы аралықта дөңес, ал екінші туындысы оң таңбалы болса, функция графигі осы аралықта ойыс болады. Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x₀, f(x₀)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда . Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x₀, f(x₀)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады.

36-билет. Егер y=f(x) функциясы үшін және шектерінің ең болмағанда біреуі

шексіздікке тең болса, онда функция графигінің тік асимптотасы деп аталады. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b

Көлбеу асимптотаны мынадай теорема көмегімен табуға болады. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті:

, .