42. Розв’язування др першого порядку методом Бернулі.

ДР називається лінійним якщо невідома функція у і її похідні входять в це р-ня лінійно: а(х)у+в(х)у+с(х)=0 (1).

у+р(х)у=q(x) (2). Є два різні способи розв’язання лінійного р-ня (2): метод Бернулі та метод варіації довільної сталої.

Метод Бернулі. Y=u*v (3); u=u(x), v=v(x) новi невідомi функціi. y=uv+uv (4); uv+uv+puv=q (5). У р-ні (5), згідно Бернулі, потрібно дописати ще одне р-ня яке має вигляд: uv+puv=0 (6). Тоді в р-ні (5) залишається тільки uv=q (7).

; u(v+pv)=0. Якщо u=0 то і у=0. v+pv=0; dv/dx=-p(x)v; dv/v=-p(x)dx; ; lnv=-P(x) (8)/

При інтегруванні першого р-ня системи 6, 7, сталу можна не писати. (9). ; ; ; ; u=Q(x)+c (10). y = [Q(x)+c] (11)

43. Лндр другого порядку зі сталим коефіціентами. Структура загального розв`язку.

Неоднорідні лінійні рівняння

Неоднорідним лінійним ДР н-го порядку називається оівння виду у``+py`+qy=f(x), де

P,q- const

Y=y(x) – невідома ф-ція

F(x) –відома ф-ція яка називається правою частиною рівн

Якщо в рівнні (1) права частина = 0, то вона атиме вигляд(2) і має спеціальну назву однорідна лінія ДР

Y``+py`+qy=0(2)

Теорема 1 (структура загального розвязку рівн1) якщо узн – загальний розвязок неоднопідного знаходиться за формулаю:

Узн=угн+узо (3)

Доведення: Дано:

Y``зо+ру`зо+qyзо=0

У`гн+ру`гн+qyгн=f(x)

Довести що Узн задовольняє рівняння(1)

Узн+ ру`зн+ qyзн= f(x)

(3) підставляємо в (1) і маємо

44. Лодр другого порядку зі сталими коефіціентами. Структура загального розв`язку

Теорема 2

У=ehx підставимо в рівн (2)

У`=ehx * h y`` = eh * h2

h2ehx + phehx+qehx=0

h2+ph+q=0 (4) характерне рівняння відносно невідомого параметра h

Якщо 1) h1 не = h2 , то yзо=с1eh1x+c2eh2x

2) h1 = h2 , то yзо=(с1х+с2)еh1x

3)h12= ǻ+-β , то yзо=еǻx(c1cosβx+c2sinβx)

I=√(-1) ; і2=-1