6. Лаплас түрлендіруін дт шешуде қолдану

Келесі дифференциалдық теңдеу берілген

нөлдік бастапқы шарттарда:

Х(t) және Y(t) Лаплас бойынша түрлендірілетін, яғни бүкіл осьте біртаңбалы туындыға ие үздіксіз немесе бөліктей-үздіксіз болсын делік.

Теңдеулердң Лаплас бойынша түрлендіреміз:

Функция мәнін береміз  сонда

Бар теңдеуді Лаплас бойынша түрлендіреміз:

Теңдеуді ыңғайлырақ түрге келтіреміз:

Шығыс айнымалысын сол жаққа бөліп аламыз:

берілген теңдеудің шешімі:

Лаплас түрлендіруі таблицасын (Табл.2-1) қолдану үшін, алынған бөлшек теңдеуді элементарлы бөлшектер санына жіктейміз, ол үшін сипаттама теңдеуін табамыз:

сипаттама теңдеуінің түбірі,

мұнда С₀, С₁, С_2, . . . , С_n - тұрақты коэффициенттер.

Лаплас бойынша кері түрлендіру орындаймыз:

берілген теңдеудің шешімі:

кіріс сигналы ретінде бірлік секірмелі функция алынып отырғандықтан, алынған теңдеу үдеу қисығы теңдеуі болады. Мұндай есептерді шешудің қиындығы Лаплас бойынша кері түрлендіруде.

1. Скаляр өріс.Беттік деңгей

Скаляр өріс - кеңістіктің әрбір нүктесінде скаляр болатын функциямен сипатталатын физикалық өріс.^[1]Скалярлық функциядан әдетте үзiлiссiздiк немесе жеткiлiктi рет дифференциалдану керек болады.

функциясы берілген скаляр өрісті қарастырайық. Скаляр өрістің деңгейінің беті деп U(М) функциясы тұрақты мән қабылдайтын нүктелердің геометриялық түрлерін айтады, яғни U(x,y,z)=С

Осы теңдеуде шамаға әр түрлі мән бере отыра, өрісті қарастыратын деңгейдің әртүрлі беттерін аламыз. Өрістің әрбір нүктесі арқылы бір ғана деңгей беті өтеді. Оның теңдеуін (2) теңдеуіне нүктенің координаталар арқылы табуға болады. U=

Осы функция пайда болған скаляр өріс үшін деңгей беті центрлері координаталар басында болатын, көптеген концентрлі сфералар болып табылады.

Жеке жағдайда С=1 болғанда, , яғни сфера нүктеге кішірейіп тартылады.

Температуралық өрістердің деңгей бетінің біркелкі қызған жібі үшін ортақ өсі жұп болатын дөңгелек цилиндрлар болып табылады. U= U(х,у) жазық өріс жағдайда

U(х,у) = С теңдігі өріс деңгейін сызығы теңдеуі болып табылады. Яғни, деңгей сызығы бұл нүктелерде U(х,у) функциясы тұрақты мәнін сақтайтын О(х,у) жазықтығындағы сызық. Мысалы, митереологияда изобаралар мен изотермалардың көзі бірдей орташа қысымдар мен температуралардың сызықтары, деңгей сызықтар және нүктенің координаталардың функциясы болып табылады. Деңгей сызықтары математикада беттерді қималар әдсімен зерттеуге қолданады.

2. . Бағыт бойынша туынды. өрісі берілген кеңістікте қандайда бір М нүктесін алып, М нүктесінің бағытымен қозғалғанда U функциясының өзгеріс жылдамдығы н табамыз. векторы М нүктесінен басталсын және бағыттауыш косинустар болсын.

U функциясы қандайда бір М₁ нүктесінде бағытымен орын ауыстырғанда пайда болатын өсімшесі былай болады.

немесе онда U=U(М) функциясына М нүктесінде бағыты бойынша туындысы - шек деп аталады.

бағыты бойынша туынды осы бағыт бойынша М нүктесіндегі функциясын өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

Егер болса, онда функция бағытында өспелі. Егер болса, онда U функциясы бағытында кемімелі.

- шамасы М нүктесіндегі бағыты бойынша U функциясының мезетін өзгеріс жылдамдығын көрсетеді.

- неғұрлым үлкен болса, соғұрлым U функциясы тез өзгереді. Бағыт бойынша туындының физикалық мағынасы осында. U(x,y,z) функциясы М нүктесінде дифференциалды деп есептеп, бағыт бйынша туындыны есептеу формуласын қорытайық. Онда оның М нүктесіндегі толық өсімшесін мына түрде жазуға болады.

кездегі шексіз кіші функциялар . Себебі

шекке көшіп, бағыт бойынша туындыны есептеу формуласын аламыз.

(2)

жазық өріс жағдайында ,

,сонда (2) формула мына түрде келеді.

Ескерту.Бағыт бойынша туынды түсінігі дербес туындылар түсінігінің жалпылама түсінігі болып табылады. Олардың ОХ, ОУ, ОZ кординаталық өстердің бағыты бойынша Uфункциясының туындысы ретінде қарастыруға болады. Егер бағыты ОХ өсінің бағытымен сәйкес келсе, онда екінші формулада , қойып, аламыз.