Вычисление кинетической энергии твердого тела

Для решения задач при помощи теоремы об изменении кинетической энергии требуется умение вычислять кинетическую энергию и работу сил. Вычисление работы рассмотрено в предыдущих пунктах. Здесь рассмотрим вычисление кинетической энергии.

В общем случае кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

Если система состоит из нескольких   твердых тел, то кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий отдельных тел:  .

Рассмотрим, как вычисляется кинетическая энергия тела в различных случаях движения. При этом будем исходить из общей формулы для кинетической энергии системы, в которой под   будем понимать теперь массы и скорости малых частиц тела, на которые мысленно разбивается движущееся тело.

При поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны:   для вычисления кинетической энергии получаем формулу

Так как

(скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля), то в конечном результате содержится модуль v скорости v тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении определяется так же, как для материальной точки с массой и скоростью, равными массе и скорости тела:

14В предыдущих лекциях рассматривались способы решения задач динамики, основанные на законах Ньютона. В теоретической механике разработаны и другие способы решения динамических задач, в основе которых лежат некоторые иные исходные положения, называемые принципами механики.

Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики — способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.

Принцип Даламбера для материальной точки

Пусть материальная точка массы   совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы   и реакции связи R (рис. 57).

Рис. 57.

Определим вектор

численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор  имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

16

18 В статике решаются задачи, где так или иначе присутствует равновесие, при этом не всегда бывает удобно пользоваться алгоритмом, который обычно предлагается школьникам для решения подобных задач, а именно

При расчете сложных конструкций чаще всего полезно использовать метод виртуальной работы.

Введем ряд фундаментальных понятий, прежде чем познакомить вас с этим методом. Будем называть связями ограничения, действующие на систему (например, силы реакции или трения). Будем называть виртуальным перемещением системы бесконечно малое (или конечно в случае систем в равновесии) изменение конфигурации системы, согласующееся со связями, наложенными на систему в данный момент, то есть мы как бы замораживаем время и производим некое перемещение всей системы или ее части. При этом силы, действующие в системе (или связи) остаются неизменными.

Произведем виртуальное перемещение системы и воспользуемся законом сохранения энергии, очевидно, что работа всех сил при виртуальном перемещении равна 0, данный метод называется методом виртуальной работы. То есть мы можем совершать ряд перемещений с нашей статической системой, получая соответствующие уравнения, при этом разумеется нужно учесть работу сил реакции. Теоретически мы можем совершить с нашей системой сколь угодно много виртуальных перемещений, и получить нужное количество уравнений. Правда при некоторых перемещениях мы получим одинаковые уравнения, так что стоит выбирать только те перемещения, которые могут дать нам линейно независимые уравнения.

Рассмотрим несколько примеров на применение метода виртуальной работы (другое название метод виртуальных перемещений).