3.7. Розрахунок складного трифазного кола

Постановка задачі

До трифазного джерела електричної енергії під’єднано симетричний трифазний приймач, комплексні опори якого можуть бути сполучені зіркою або трикутником. Комплексний опір кожного лінійного проводу . Необхідно для кожного з трьох режимів: симетричного навантаження фаз; обриву лінійного проводу; короткого замикання фази приймача:

1) обчислити комплексні фазні та лінійні струми й напруги;

2) виконати перевірки правильності обчислень, застосувавши рівняння законів Кірхгофа;

3) побудувати на комплексній площині векторні діаграми напруг і струмів трифазної системи;

4) визначити активну, реактивну і повну потужності, які споживаються трифазним приймачем.

3.7.1. Опори приймача сполучені зіркою без нульового проводу

Приклад розрахунку

Розрахунок електричного кола (рис. 3.12) проведемо за числовими даними, наведеними в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

, В	, Гц	, Ом	, Ом	, Ом
500	50	60 – j 80	9 + j 12	3 + j 4

3.7.1.1. Симетричне навантаження фаз

Симетричним (рівномірним) вважають таке навантаження, при якому модулі опорів фаз приймача і їх аргументи в усіх фазах однакові:

.

Фазні напруги симетричного трифазного генератора однакові за модулем і зсунуті за фазою одна відносно одної на кут 120˚.

Комплексне число , модуль якого дорівнює одиниці, позначають через і називають оператором трифазної системи .

Тоді .

Три вектори , і утворюють симетричну трифазну систему:

.

Помноження будь-якого вектора на повертає вектор без зміни модуля на кут 120˚ проти годинникової стрілки. Помноження вектора на повертає вектор на кут 240˚ проти годинникової стрілки або, що те ж саме, – на кут 120˚ за годинниковою стрілкою.

За допомогою оператора можна виразити комплексні фазні напруги , й симетричного трифазного генератора. Для спрощення приймаємо початкову фазу напруги рівною нулю ( ). Тоді

Комплексні лінійні напруги генератора являють собою геометричні різниці відповідних комплексних фазних напруг. Вони за модулем більші від фазних в разів і також утворюють симетричну трифазну систему:

Як видно з рис. 3.12, комплексні струми , й проходять через опори лінійних проводів і через опори приймача , тобто вони є одночасно і лінійними, і фазними струмами:

; ; .

Навантаженням кожної фази генератора є сума опору лінійного проводу і опору променя «зірки» приймача, оскільки вони увімкнуті послідовно:

Тоді комплексні лінійні (фазні) струми:

Перевірку точності обчислень струмів зробимо, записавши рівняння першого закону Кірхгофа для вузла «о» споживача:

;

Комплексний опір променя зірки приймача:

.

Комплексні фазні напруги приймача:

Комплексні лінійні напруги приймача визначаємо як різниці відповідних його комплексних фазних напруг:

Примітки:

1. При обчисленні калькулятором початкової фази комплексної напруги одержуємо – доповняльний кут, який у сумі зі справжнім кутом дорівнює 180˚. , звідки .

2. Аналогічно, при обчисленні початкової фази комплексної напруги одержуємо – доповняльний кут, який у сумі зі справжнім кутом дорівнює 180˚. , .

Комплексні спади напруг на опорах лінійних проводів:

де – комплексний опір лінійного проводу.

Комплексна потужність, яку споживає симетричний трифазний приймач, рівна потроєному добутку комплексної напруги однієї фази на спряжене значення комплексного струму тієї ж фази:

Отже, трифазний приймач споживає потужності:

активну ; реактивну ємнісну .

Повна (установлена) потужність споживача .

В икористовуючи обчислені значення напруг і струмів, будуємо на комплексній площині топографічну векторну діаграму (рис. 3.13). Для цього спочатку в масштабі відкладаємо вектори фазних напруг генератора , , . Оскільки , то вектор спрямуємо уздовж осі дійсних величин. Вектор відкладаємо під кутом 120˚ в напрямку відставання, а вектор – під кутом 120˚ в напрямку випередження відносно вектора .

Вектори лінійних напруг генератора знаходимо як векторні різниці фазних напруг згідно з векторними рівностями:

; ; ,

причому перша літера індексу вектора вказує, до якого вектора фазної напруги направлений даний вектор лінійної напруги: наприклад, літера вектора вказує, що він направлений від кінця вектора до кінця вектора і тощо.

Вектори фазних напруг приймача також утворюють симетричну систему векторів з центром у початку координат (точка «О»).

Вектори лінійних напруг приймача знаходимо як векторні різниці відповідних фазних напруг:

; ; .

Вектори спадів напруг на опорах лінійних проводів являють собою векторні різниці відповідних векторів фазних напруг генератора і векторів фазних напруг приймача:

; ; .

Вектори лінійних (фазних) струмів відкладаємо від осі дійсних величин, враховуючи її початкові фази.