2.Екінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.

-ші ретті анықтауыш немесе детерминантдеп

(1)

түрінде жазылған және төмендегідей формуламен есептелінетін санды айтамыз:

(2)

мұндағы қосынды алмастыруының барлық мүмкін әртүрлі

мәндері үшін таралған.(2)-

дегі қосылғыштар саны

тең.Көрсетілген екінш

Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп,матрицаның бас диоганалында орналасқан а және а екі элементтің көбейтіндісі мен жанама диоганалінде орналасқан а және а екі элементтерінің көбейтіндісінің айырымына тең санды атайды және былай белгілейді:

Сонымен анықтама бойынша:

Анықттауыштардың қасиеттері.

1. Анықтауыштың жолдары мен сәйкес бағандарының орнын алмастырсақ онда оның мәні өзгермейді.

2. Анықтауыштың кез келген екі жолыныңсәйкес элементтерінің орнын алмастырсақ,онда оның таңбасы қарама қарсы таңбаға өзгереді.

3. Анықтауыштың екі жолының сәйкес элементтері өзара тең болса,онда оның мәні нольге тең.

4. Анықтауыштың кез келген жолыныңбарлық элементтерін а санына көбейтсек,онда оның мәні осы санға көбейтіледі.

5. Анықтауыштың кейбір жолының барлық элементері нөлге тең болса,онда оның мәні де нөлге тең.

6. Анықтауыштың екі жолының сәйкес элементтері пропорционал болса,онда оның мәні нөлге тең.

7. Анықтауыштың к-бағанының элементтері қосындылары болса,онда бұл анықтауыш екі анықтауыштың қосындысы болады.

8. Анықтауыш кез келген жолының барлық элементтерін санына көбейтіп ,оны басқа бір жолдың сәйкес элементтеріне қоссақ онда оның мәні өзгермейді.

5. Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер ережесі.

Екі белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі

.х және х екі белгісізді сызықтық екі теңдеулер жүйесі

берілсін дейік.Теңдеулер жүйесінің ,I,j=1,2 коэффициенттері және бос мүшелері нақты сандар болсын.

пар сандары теңдеулер жүйесіндегі және -нің орнына қойғанда оның әр теңдеуән теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда бұл сандар теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Егер теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін -ге ал екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,содан кейін бірінші теңдеуін -ге,екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,онда жүйеге мәндес.

Теңдеулер жүйесін аламыз.

Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

(4)

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

Үш белгісізді сызықты үш теңдеулер жүйесі.Бізге белгісізді сызықтық үш теңдеулер

жүйесі берілсін дейік.Жүйенің коэффициенттері мен босмүшелері нақты сандар болсын.Егер сандар үштігін теңдеулер жүйесіндегі белгісіздерінің орнына қойғанда,ол жүйенің әр теңдеуін теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда үштігі жүйенің шешәмә деп аталады.Мына белгілеулер

Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.т (j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

.

4. Кері матрицаны есептеу. Мысал.Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз. Анықтама.А квадрат матрица үшін мына теңдікті қанағаттандыратын матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады. Кері матрицаны мына формуламен табады:

, мұндағы -матрица анықтауышы, ал -берілген матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола бермейді. Теорема(кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес ( ) матрица болуы қажетті және жеткілікті.

Мысал. матрицасының кері матрицасын табу керек. Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.

= = .

, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық толықтауыштарын есептейік.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Табылған мәндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.

. Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:

.

mxn өлшемді А матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k min(m,n), квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. матрицаның k-өлшемді минорлар саны болады.

Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады:

r=r(A)= rangA .

Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады:

1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды:

r(A) min(m,n).

2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.

Мысал. матрицаның рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A) min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады:

, , , .

Үшінші ретті минорлардың бәрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың саны ) ең болмағанда бір нолге тең емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор: , сондықтан r(A)=2.

Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер әдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады.

Теорема. Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.

Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді.

Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:

,

мұндағы r п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады.

Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры

бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни

r(A)=r.

Мысал. матрицасының рангісін есептейік.

Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз.

.

Соңғы матрица сатылы түрге келді және онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:

. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3.

6.