2. Производная функции

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и конечен и обозначается:

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.

1. Производная постоянной величины ( ) равна нулю: .

2. Постоянный множитель выносится за знак производной .

3. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:

.

Если переменная есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция независимой переменной ( ), то говорят, что задана сложная функция = = .

Пусть и - дифференцируемые функции по своим аргументам, тогда производная сложной функции существует и равна произведению производных данных функций по соответствующим переменным:

Для вычисления производных функций применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

Таблица 2.1

№	функция	производная	№	функция	производная
1			7		1/
2			8		-1/
3		1/	9		1/( )
4			10		-1/( )
5			11		1/(1+ )
6		-	12		-1/(1+ )

В экономике используется понятие эластичности как мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Коэффициент эластичности функции определяется следующим соотношением:

.

Коэффициент эластичности функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится переменная в результате увеличения переменной на 1%.

Пример 2.1. Найти производную функции .

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по аргументу как степенной функции

.

В свою очередь, аргумент представляется в виде алгебраической суммы двух степенных функций и постоянной. Поэтому, используя правила дифференцирования 1-3, получим:

= .

Отсюда производная искомой функции

.

Пример 2.2. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , . Тогда и искомая производная находится по формуле: .

Производную находим из таблицы производных элементарных функций

.

Второй сомножитель представляет производную от степенной функции

Наконец, последняя производная находится по правилам дифференци-

рования частного

= = .