3.3. Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа

Якщо функція на відрізку є многочленом степеня, що менший або дорівнює , то з єдиності інтерполяційного многочлена випливає, що інтерполяційний многочлен тотожно дорівнює , тобто при .

Якщо функція на відрізку , який містить вузли інтерполювання не є многочленом степеня, що менший або дорівнює , то різниця

(16)

дорівнюватиме нулю лише у вузлах інтерполювання , а в інших точках відрізка вона відмінна від тотожного нуля. Функцію , яка характеризує точність наближення функції інтерполяційним многочленом , називають залишковим членом інтерполяційної формули (9), або похибкою інтерполювання. Якщо відомий аналітичний вираз функції , то можна оцінити . У цьому випадку справедлива така теорема.

Теорема. Якщо вузли інтерполювання різні і належать відрізку , а функція диференційована раз на відрізку , то для будь-якої точки існує така точка , що для похибки інтерполювання справедлива рівність

, (17)

де .

Якщо ввести позначення , тоді для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа в поточній точці , дістанемо оцінку

, (18)

а на всьому відрізку :

. (19)

Приклад 3. Оцінити похибку наближення функції в точці і на всьому відрізку з допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа другого степеня, побудованого з вузлами , , .

Розв’язання. Знайдемо:

, , ,

.

На основі нерівності (18) одержимо

.

Згідно з оцінкою (19)

.

3.4. Мінімізація оцінки похибки інтерполяції. Многочлени Чебишева

З формули (18) видно, що абсолютна похибка інтерполяційної формули Лагранжа пропорційна добутку двох множників і , з яких залежить лише від функції , а величина другого, , визначається виключно вибором вузлів інтерполювання. Зменшити величину абсолютну похибку інтерполяційної формули Лагранжа можна таким вибором вузлів інтерполювання, за якого множник набуває найменшого максимального значення на відрізку . Одним із способів мінімізації множника є використання многочленів Чебишева.

Для простоти спочатку розглянемо випадок стандартного відрізка .

Многочлени Чебишева. Многочлени Чебишева , на відрізку визначаються формулою

. (20)

При маємо: .

Далі із тотожності

або

,

п

Рис. 1

ри , одержимо

(21)

Покладаючи в (21) т.д., знаходимо:

Графіки виписаних поліномів Чебишева наведено на рис. 1.

Якщо розглядуваний відрізок відмінний від стандартного, то його завжди можна привести до стандартного заміною змінної

.

Чебишев довів, що величина має найменше значення, якщо вузлами інтерполювання є числа , де – нулі многочлена Чебишева . Вони дійсні різні, належать інтервалу і згущаються біля кінців інтервалу.

Доведено, що за такого вибору вузлів інтерполювання

,

а оцінка (18) має вигляд

, (220)

1.5. Інтерполяційний многочлен Ньютона

Для побудови інтерполяційного многочлена Ньютона необхідно спочатку ввести поняття скінчених і розділених різниць. Нехай – довільні попарно не рівні між собою вузли інтерполяції, в яких відомі значення функції .

Скінченими різницями першого порядку називають величини, що обчислюються за формулами:

(23)

Скінченими різницями другого порядку називають:

(24)

У загальному вигляді скінчені різниця -го порядку обчислюється за формулою

(25)

Розділені різниці першого порядку для у вузлах інтерполяції мають вигляд:

(26)

Розділені різниці другого порядку записують у вигляді:

(27)

Взагалі, якщо розділені різниці -го порядку вже визначені, то розділені різниці -го порядку знаходяться за формулою

. (28)

При обчислені розділених різниць прийнято записувати їх у вигляді таблиці

x	f(x)	∆ f(x)	∆2 f(x)	∆3 f(x)	…	∆n f(x)
x0	f(x0)
x1	f(x1)	f(x0; x1)
x2	f(x2)	f(x2; x1)	f(x0; x1; x2)
x3	f(x3)	f(x3; x2)	f(x1; x2; x3)	f(x0; x1; x2; x3)
…	…	…	…	…	…
xn	f(xn)	f(xn-1; xn)	f(xn-2; xn-1; xn)	f(xn-3; xn-2; xn-1; xn)	…	f(x0; x1; …; xn)

Використовуючи розділені різниці, можна одержати формулу Ньютона для нерівних проміжків у вигляді:

(29)

Зауважимо, що в обчисленнях за формулою (29) будуть брати участь тільки діагональні елементи таблиці, а всі інші елементи таблиці являються тільки проміжковими і потрібні тільки для обчислення діагональних елементів.

Переконаємось, що отриманий вираз дійсно є інтерполяційним многочленом, а саме він є многочленом -го степеня і приймає у вузлах інтерполяції задані значення:

Вибравши довільну точку , можна довести, що

тобто всі вимоги до інтерполяційних многочленів виконуються.

Приклад 4. Функцію на відрізку інтерполювати многочленом Ньютона 5-го степеня, обчислити його значення при та порівняти одержане наближене значення із точним.

Розв’язання. Програма побудови матриці розділених різниць , многочлен Ньютона та результати обчислень наведено на лістингу 4. З наведених

результатів видно, що похибка

На вигляд многочлен Ньютона відрізняється від многочлена Лагранжа. Але якщо ці многочлени побудовано для тієї самої функції і однієї й тієї самої системи вузлів, то за теоремою про єдиність розв’язку інтерполяційної задачі вони тотожно дорівнюватимуть одна одній, тобто . А тому і залишковий член інтерполяційної формули Ньютона збігатиметься з залишковим член інтерполяційної формули Лагранжа. Отже,

.