Узагальнені формули прямокутників

Узагальнені формули прямокутників одержуються з формул (15)-(17) шляхом знаходження суми по від 1 до , а саме:

– формула лівих прямокутників, (18)

– формула правих прямокутників, (19)

– формула середніх прямокутників. (20)

Для залишкового члена узагальненої формули лівих прямокутників відповідно до формули (15) одержимо

.

Оскільки неперервна на , то існує точка така, що середнє арифметичне . Тому залишковий член узагальненої формули лівих прямокутників остаточно набирає вигляду

. (21)

Аналогічно залишковий член узагальненої формули правих прямокутників

, (22)

і залишковий член узагальненої формули середніх прямокутників

. (23)

Зауважимо, що обчислити значення залишкових членів (21)-(23) не має можливості, бо точки невідомі. Але для них справедливі такі оцінки:

, (24)

, (25)

де , .

Примітка. Залишкові члени формул лівих і правих прямокутників мають протилежні знаки. Отже, ці формули наближають інтеграл з недостачею і надлишком. Тому за наближене значення інтеграла І можна взяти півсуму цих двосторонніх наближень, поклавши . Тоді для абсолютної похибки наближення дістанемо .

Приклад 1. Обчислити інтеграл за формулами прямокутників при різних значеннях і оцінити похибку.

Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємось пакетом Mathcad. Результати розв’язання наведено на лістингу 3.

Квадратурна формула трапецій

Д

Рис.2

ля інтегрування методом трапецій відрізок інтегрування також розбивають на рівних частин . Якщо провести ординати у всіх точках поділу і замінити кожну із одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.2), то наближене значення інтеграла буде дорівнювати сумі площ прямолінійних трапецій.

Площу прямолінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса при (підінтегральну функцію замінюємо многочленом Лагранжа першого степеня). У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так: , (другий рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа прямолінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

,

а отже, наближене значення інтеграла буде обчислюватись за формулою

.

Таким чином квадратурна формула трапецій для чисельного інтегрування має вигляд

. (26)

Для залишкового члена формули трапецій неважко дістати формулу

. (27)

Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій

. (28)

Квадратурна формула Сімпсона

Д

Рис.3

ля інтегрування методом Сімпсона відрізок інтегрування розбивають на рівних частин з кроком . На парі сусідніх участків (рис. 3) крива замінюється многочленом Лагранжа другого степеня (параболою) , який проходить через точки , , .

Площу криволінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса для трьох вузлів інтерполювання. У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так: , , (третій рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа криволінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

.

Знаходячи суму площ усіх криволінійних трапецій, одержимо

.

Якщо дещо перегрупувати сумування доданків, то дістанемо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) у вигляді

. (29)

Для відшукання залишкового члена формули Сімпсона побудуємо інтерполяційний многочлен Ерміта, який у точках має ті самі значення, що й , а в точці ще має місце рівність похідних многочлена і функції. Тоді многочлен можна записати у вигляді

,

де К – деяка стала. Тоді

,

де – залишковий член формули Ерміта. Якщо , то

, (30)

де

.

Проінтегрувавши (30), дістанемо

Оскільки

,

то для залишкового члена Сімпсона дістанемо формулу

.

Так як функція на проміжку не змінює знака, а є неперервною на , то використовуючи теорему про середнє значення інтеграла, одержуємо

.

Обчисливши інтеграл, остаточно матимемо

. (31)

Для обчислення похибки залишкового члена узагальненої формули Сімпсона, як і в попередніх випадках, скористаємось теоремою про середнє значення. Тоді

. (32)

Оскільки значення в формулі (32) невідоме, то обчислити похибку не є можливим, але можна дати оцінку залишкового члена

, . (33)

Порівняння і практична оцінка похибки квадратурних формул.

Екстраполяція за Річардсоном

З попередніх викладок бачимо, що точність квадратурної формули характеризується порядком залишкового члена відносно степеня кроку інтегрування . З формул (24), (25), (28) і (33) видно, що залишковий член квадратурних формул залежить від кроку інтегрування і . Кажуть, що залишковий член має порядок ( – натуральне число) відносно , якщо існує скінченна границя

,

і записують це так: .

Отже, залишкові члени формул лівих і правих прямокутників відносно мають перший порядок: , середніх прямокутників і трапецій – другий: , а Сімпсона – четвертий: . Квадратурна формула вважається тим точнішою, чим більший порядок її залишкового члена . З розглянутих квадратурних формул найточнішою є формула Сімпсона, а найменш точними – формули лівих і правих прямокутників.

Як було зазначено вище, в багатьох випадках оцінити залишковий член квадратурної формули дуже важко, або й неможливо, наприклад тоді, коли функція задана графічно або таблично і аналітичний вираз її невідомий, або коли функція задана складним аналітичним виразом і її похідну важко оцінити. Разом з тим оцінити залишковий член квадратурної формули можна і тоді, коли не вдається оцінити модуль похідної підінтегральної функції. Важливо лише знати порядок залишкового члена відносно степеня кроку інтегрування . Для цього використовують метод подвійного перерахунку.

Нехай залишковий член деякої квадратурної формули має порядок відносно кроку інтегрування , тобто , . Припустимо також, що похідна, яка входить до залишкового члена , на відрізку інтегрування змінюється мало, а тому наближено її можна вважати сталою. Тоді залишкового члена набере вигляду

,

де М – деяка відома стала.

Якщо відрізок інтегрування поділити на і рівних частин та

і обчислити за квадратурною формулою наближені значення та інтеграла , а відповідні їм залишкові члени позначити через і , то дістанемо дві рівності:

, . (34)

Ці рівності можна розглядати як лінійну систему рівнянь відносно і . Виключивши з даної системи , знайдемо для значення

.

Підставивши одержане значення у вираз для , дістанемо

. (35)

Таку оцінку похибки квадратурної формули називають правилом Рунне. Якщо тепер (35) підставити у друге рівняння системи (34), то знайдемо уточнене значення інтеграла

. (36)

Обчислення наближеного значення інтеграла за формулою (36) називають екстраполяцією за Річардсоном. Якщо , то уточнене значення ніколи не лежить між і . Якщо , то з формули (36) випливає, , а якщо , то . Отже, наближення визначають з наближень і в результаті операції екстраполювання, тому й сам спосіб обчислення називається екстраполяцією.

У табл. 1, для квадратурних формул, розглянутих вище, подано значення порядку залишкового члена відносно кроку інтегрування , формули для обчислення залишкового члена і уточнене значення інтеграла .

Таблиця 1

Узагальнена квадратурна формула	р
Лівих і правих прямокутників	1
Середніх прямокутників і трапецій	2
Сімпсона	4