2. История арифметики

Арифметика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός -число) - раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах.

В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых Семи свободных искусств.

Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу.

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году.

Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики [17,с.28].

По-видимому, наибольшую трудность у древних вычислителей вызывала работа с дробями. Об этом можно судить по папирусу Ахмеса (называемому также папирусом Ринда), древнеегипетскому сочинению по математике, датируемому примерно 1650 до н.э. Все дроби, упоминаемые в папирусе, за исключением 2/3, имеют числители, равные 1.

Трудность обращения с дробями заметна и при изучении древневавилонских клинописных табличек. И древние египтяне, и вавилоняне, по-видимому, производили вычисления с помощью некоторой разновидности абака. Наука о числах получила у древних греков существенное развитие начиная с Пифагора, около 530 до н.э. Что же касается непосредственно техники вычисления, то в этой области греками было сделано гораздо меньше.

Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе, зато исходя из нужд быстро развивавшихся производства и торговли усовершенствовали абак как счетное устройство. О зарождении индийской арифметики известно очень мало.

До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло, нам достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для наших наиболее распространенных арифметических алгоритмов.

Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан Аль-Хорезми.

В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени Аль-Хорезми дошел до нас в слове "алгоризм", которое при дальнейшем смешении с греческим словомаритмос превратилось в термин "алгоритм".

Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи Книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае для сложения и умножения.

Один из первых учебников арифметики, автор которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала 17 в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В 16–17 вв. появились символы арифметических операций, такие как =, +, -, ґ, ё и .

Принято считать, что десятичные дроби изобрел в 1585 С.Стевин, логарифмы – Дж.Непер в 1614, логарифмическую линейку – У.Оутред в 1622. Современные аналоговые и цифровые вычислительные устройства были изобретены в середине 20 в.

На Руси использовали аналог древнегреческой нумерации с использованием букв кириллицы или глаголицы. Вместе с тем, в отличие от многих народов, которые придали числовые значения новым буквам, на Руси за малым исключением продолжали использовать буквы греческого алфавита или похожие. Числа писались в том же порядке, что и произносились, то есть в числе 15 сначала шёл знак для пяти, а потом для десятка, в то время как в числе 25 - сначала для 2, а потом для 5. Наибольшее распространение получила кириллическая нумерация [12,с. 69].

Арифметика в России называлась щётная мудрость, или "Чёрная книга", откуда произошло чернокнижие. Книги по арифметике мало кто мог прочитать и понять, так как они содержали арифметические правила и выкладки и были составлены из малопонятных знаков.

XI веком датируются математические задачи из юридического сборника "Русская Правда" - первый дошедший до нас математический документ Древней Руси, содержащий задачи о приплоде скота, количестве зерна и сена, собираемого с определённой площади. Дальнейшее развитие науки было остановлено монголо-татарским нашествием. В конце XVI века появилась "Книга, рекома по гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма, а по-русски - Цифирная счетная мудрость", которая, по мнению Карамзина, и была первой русской арифметикой.

Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз изЛондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры.

Вместе с тем они пришли в Россию задолго до Петра, в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений - арабская.

В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания "Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи", которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию. Второе издание этой книги, выпущенное в 1714 году в Петербурге, было напечатано гражданским шрифтом и арабскими цифрами. В 1699 году в Амстердаме вышла книга "Краткое и полезное руковедение в аритметыку, или во обучение и познание всякого счёту в сочетании всяких вещей" - первый учебник арифметики на русском языке. Книга была составлена Ильёй Фёдоровичем Копиевичем (или Копиевским) по заказу архангельских купцов. Она не удовлетворила заказчиков и распространения не получила.

В России первый учебник арифметики Леонтия Магницкого был напечатан в 1703 году. В "Арифметике" Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы "перстами", нуль - "низачто", десятки - "составами", а остальные числа - "сочинениями" .