2. Карта. Атлас. Бағыт. 2 өлшемді көпбейне. Мысал: Сфера – 2 өлшемді көпбейне.
Ашық дөңгелектің R3 кеңістігіндегі үзіліссіз өзгеруін бет деп атаймыз. Кейде беттің картасы деп атауға болады. Мысалы: жартылай сфера бет болады, себебі, оны дөңгелектің үзіліссіз өзгеруі екенін байқауға болады.
(1- сурет)
1-сурет
Бірақ сфераның өзі бет емес, себебі, толық сфера ашық дөңгелектің үзіліссіз өзгеруі болмайды (доптың камерасын есіңе түсір, камера толық сфера емес, себебі кіндігі бар).
Rn кеңістігінде екі өлшемді тегіс көпбейне құрақ-құрақ беттерден тұрады. Әр құрақ карта деп аталады, ал барлық карталардың жиыны атлас карта келесі түрде беріледі:
мұндағы
ашық дөңгелек ішінде өзгереді.
Басқаша айтқанда,
бір мәнді дифференциалданатын бейнелеу және кері бейнелеуінде дифференциалданатын функциялар арқылы өрнектеледі.
Жаттығу 6. Сфера екі өлшемді тегіс көпбейне болады.
Шешуі: 2-ші және 3-суреттерде сфераның екі карталары келтірілген.
2-суретте бір нүктесіз сфера және жазықтық қарастырылады. Олардың арасында бір мәнді сәйкестік таңдаймыз: полюстен жазықтықтың кез-келген нүктесіне сәуле жүргіземіз, сәуле сфераны қияды, қиылысу нүктесін жазықтықта жатқан нүктеге сәйкес қоямыз.
2-сурет
2-суретте В нүктесіне А нүктесі сәйкестірілген. Бұл сфераның бірінші картасы.
3-суретте оңтүстік полюс арқылы бір мәнді сәйкестік құрастырылған. Бұл сфераның екінші картасы.
3-сурет
С
онымен
сфераның атласы екі картадан тұрады.
Енді құрастырылған карталар өзара
бағыттас па, әлде бағыттас емес па деген
сұрақ туындайды. Ол үшін қайтадан
Қазақстан және Өзбекстан карталарын
қарастырайық. Осы карталардан үш қала
таңдайық. Мысалы, Шымкент, Ташкент және
Жетісай қалаларын алайық. Екі картадан
Шымкенттен Ташкентке және Шымкенттен
Жетісайға баратын бағыттарды есімізге
сақтайық. Онда 4-суреттегі екі репер
шығады.
4-сурет
Жетісай
Шымкент
Өзбекстан картасы
Ташкент
Шымкент
Жетісай
5-сурет
Көрсетілген реперлер бағыттас болса, онда карталар бағыттас болады.
Жаттығу 7. 3 және 2 - суреттегі сфераның карталары бағыттас па?
Шешуі. 2 және 1– карталардан ортақ үш нүкте таңдаймыз. Мысалы үшін, В1, В2, В3 нүктелерін алайық. Оларға сәйкес 6- суреттегі реперлар шығады. Шыққан реперлер бағыттас емес. Сондықтан карталардың бағыттары өзара келісілмеген.
6-сурет
Жаттығу 8. Сфераның өзара бағыттары келісілген карталардан тұратын атласты құрастыру қажет.
1.4 K-өлшемді тегіс көпбейнелер ұғымы. Екі натурал сандарды таңдайық. Оларды К және n деп белгілейік. Айталық К ≤ n болсын, және Rк кеңістігі Rn кеңістігінде жатсын. Rк кеңістігі Rn-дегі үзіліссіз өзгеруін қарастырайық. Оны V1 деп белгілейік, және V1-ді қарапайым К-өлшемді көпбейненің картасы деп атайды. Жалпы К-өлшемді тегіс көпбейне өзара бағыттары келісілген карталар арқылы беріледі. Карталардың жиынын атлас дейді. Бағыттары келісілгендігін тексеру үшін екі картадан ортақ К нүкте таңдап, одан кейін сәйкес реперлермен салыстыру қажет.
3. 1 өлшемді көпбейненің жанама кеңістігі. Мысал: Бұрама қисықтың (винт) жанама кеңістігі.
Жауап:
1
өлшемді көпбейне
кеңістігінде берілсін (
).
n натурал сан берілсін және кеңістігіде 1 өлшемді көпбейне берілсін.
,
Мысалы:
,
жазықтықтағы қисық:
доға
бұрама қисық
Әдетте 1 өлшемді көпбейне атлас арқылы беріледі. Атлас карталардан тұрады. Сұраққа жауап беру үшін мысалға 1 өлшемді көпбейне 1 ғана картадан тұрады делік.
Жанаманы түсіндіру үшін нүктенің жанамасын қарастырамыз.
Интервалда жанама өз-өзіне пара-пар.
β
Әрбір нүктенің өз жанамасы болады.
z
y
x
x
=
y
=
z
=
жанама
вектор
t
= 0
t
=
,
мұндағы
винттің жанама кеңістігі