15. Точки разрыва и их классификация.

Точка x₀ – точка разрыва функции y=f(x), если функция определена в этой точке, но не является непрерывной в ней (или неопределена, но определена в некоторой полуокрестности)

Классификация:

1. x₀ – точка разрыва 1 рода, если

2. x₀ – точка разрыва 2 рода, если хотя бы один из пределов f(x₀-0) или f(x₀+0) равняется бесконечности или не существует

3. x₀ – устранимая точка разрыва, если

15. Производная функции в точке. Геометрический смысл производной.

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется число

Если производную вычислить в каждой точке множества x, то можно говорить о производной как о функции переменной x.

Геометрический смысл: Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

15. Правила дифференцирования. Таблица основных производных.

Дифференцирование – нахождение производных

Правила:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Таблица основных производных:

15. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение можно представить в следующем виде , где A – некоторое число, α(∆x) – бесконечно малая функция при ∆x→0.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная f’(x₀).

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ , то она непрерывна в этой точке.

Дифференциалом функции (dy) y=f(x) в точке x₀ соответствующим приращению ∆x аргумента называется главная часть приращения функции, линейная относительно ∆x. dy=A∆x

15. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема 1

Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (a;b) и принимает в точке с наибольшее или наименьшее значение, тогда если функция f(x) дифференцируема в точке с, то f’(c)=0.

Теорема 2 (Ролля)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема 3 (Лагранжа)

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то найдется такая точка с на интервале (a,b), для которой

15. Правило Лопиталя.

Пусть функции f(x), g(x):

1. Дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀ за исключением быть может самой точки x₀

2. Существуют пределы

3. Существует предел конечный (бесконечный)

Тогда предел раскрывает неопределенность вида