10. Локальные экстремумы

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (a,b). Точка x₀ ∈ (a,b) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции f(x) если найдется ε-окрестность U точки x₀ такая, что f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)) для всех x ∈ U. Локальные максимумы и минимумы функции f(x) называются локальными экстремумами функции f(x).

Теорема Ферма. Если функция f имеет в точке x₀ локальный экстремум (максимум или минимум) и в ней существует производная f’(x₀), то последняя равна нулю (f’(x₀) = 0).

Доказательство. По определению f’(x₀) = lim _∆x→0(f(x0 + ∆x) − f(x0))/∆x.

.

Пусть, например, x₀ – локальный максимум. Тогда при достаточно малых ∆x ∆f = f(x0+ ∆x) − f(x0) ≤ 0. Возьмем ∆x > 0. Тогда ∆f/∆x ≤ 0 и, следовательно,

f’(x₀) = lim _∆x→0+0∆f/∆x≤ 0.

Если ∆x < 0, то аналогично получим, что ∆f/∆x ≥ 0 и, следовательно,

f’(x₀) = lim _∆x→0−0∆f/∆x≥ 0.

Из этих двух неравенств вытекает, что f’(x₀) = 0. Аналогичные рассмотрения справедливы и в случае, если x₀ – локальный минимум.

11. Условия возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] и имеющая неотрицательную (положительную, неположительную, отрицательную) производную на интервале (a,b), не убывает (возрастает, не возрастает, убывает) на [a,b].

Доказательство. Действительно, пусть a ≤ x1 < x2 ≤ b; тогда на отрезке [x1,x2] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (x1,x2) точка c, для которой f(x2)−f(x1) = (x2−x1)f’(c). Если по условию f’(x) ≥ 0 на (a,b), то f’(c) ≥ 0 и значит f(x2) ≥ f(x1), т.е. функция не убывает. Если же f’(x) > 0 на (a,b), то f’(c) > 0 и значит f(x2) > f(x1), т.е. функция возрастает. Аналогичные рассуждения применимы если f’(x) < 0 или f’(x) ≤ 0 на (a,b). Ч.т.д.

Докажем теорему, которая дает достаточный критерий существования локального экстремума функции.

Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности U точки x₀. Тогда если f’(x) ≤ 0 для x < x₀, x ∈ U и f’(x) ≥ 0 для x > x₀, x ∈ U, то x₀ –локальный минимум f. Если же f’(x) ≥ 0 для x < x₀, x ∈ U и f’(x) ≤ 0 для x > x₀, x ∈ U, то x₀ – локальный максимум f.

12. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности U точки x0. Тогда если f’(x) ≤ 0 для x < x₀, x ∈ U и f’(x) ≥ 0 для x > x₀, x ∈ U, то x0 –локальный минимум f. Если же f’(x) ≥ 0 для x < x0, x ∈ U и f0(x) ≤ 0 для x > x0, x ∈ U, то x0 – локальный максимум f. Замечание 1. Утверждение теоремы может быть переформулировано следующим образом. Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности U точки x0. Тогда если при переходе через точку x0 производная f’(x) меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – локальный минимум f. Если же производная f’(x) меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – локальный максимум f.

Доказательство. Пусть, например, f’(x) ≤ 0 для x < x0, x ∈ U и f’(x) ≥ 0 для x > x₀, x ∈ U. На основании теоремы 1 функция справа от x0 не убывает, а слева не возрастает, и так как f(x) непрерывна в U, то она имеет в этой точке локальный минимум. Аналогично рассматривается второй случай. Следующая теорема дает достаточный критерий существования локального экстремума функции по знаку второй производной.

Теорема 3. Пусть функция f имеем в некоторой окрестности U точки x0 первую и вторую непрерывные производные, f’(x0) = 0 и f’’(x0) > 0 (f’’(x0) < 0). Тогда x0 – локальный минимум (максимум) функции f.

Доказательство. В силу того, что f’’(x0) > 0 (f’’(x0) < 0) и непрерывности f’’ существует ε-окрестность U₀ ⊂ U точки x0, где f’’(x0) > 0 (f’’(x0) < 0). Тогда по теореме 1 производная f0(x) возрастает (убывает) в этой окрестности. Но поскольку f’(x0) = 0, то f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для всех x ∈ U0 : x > x0 и f’(x) < 0 (f’(x) > 0) для всех x ∈ U0 : x < x0. По теореме 2 получим, что x0 – локальный минимум (локальный максимум). По определению кривая y = f(x) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [a,b] (интервале (a,b)), если любая дуга этой кривой с концами в точках (x1,f(x1)),(x2,f(x2)) c a ≤ x1 < x2 ≤ b (a < x1 < x2 < b) расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.