3.3. Проверка гипотез о законе распределения

Обычно сущность проверки гипотезы о законе распределения ЭД заключается в следующем. Имеется выборка ЭД фиксированного объема, выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Необходимо оценить по этой выборке параметры закона, определить степень согласованности ЭД и выбранного закона распределения, в котором параметры заменены их оценками. Пока не будем касаться способов нахождения оценок параметров распределения, а рассмотрим только вопрос проверки согласованности распределений с использованием наиболее употребительных критериев.

Критерий хи-квадрат к. Пирсона

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением Fп(x), которая приближенно подчиняется закону распределения c 2. Гипотеза Н0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов y . Наблюдаемая частота попаданий в i-й разряд ni. В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i-й разряд составляет Fi. Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – Fi). Для нахождения общей степени расхождения между F(x) и Fп(x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

.

Величина c 2 при неограниченном увеличении n имеет распределение хи-квадрат (асимптотически распределена как хи-квадрат). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся y – 1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются f параметров распределения, то число степеней свободы составит k=y – f –1.

Область принятия гипотезы Н0 определяется условием c 2£ c 2(k;a ), где c 2(k;a ) – критическая точка распределения хи-квадрат с уровнем значимости a . Вероятность ошибки первого рода равна a , вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n>200, допускается применение при n>40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Пример 3.1. Проверить с помощью критерия хи-квадрат гипотезу о нормальности распределения случайной величины, представленной статистическим рядом в табл. 2.4 при уровне значимости a = 0,05.

Решение. В примере 2.3 были вычислены значения оценок моментов: m 1 =27,51, m 2 = 0,91, s = 0,96. На основе табл. 2.4 построим табл . 3.2, иллюстрирующую расчеты.

В этой таблице:

ni – частота попаданий элементов выборки в i-й интервал;

xi – верхняя граница i-го интервала;

F(xi) – значение функции нормального распределения;

D Fi – теоретическое значение вероятности попадания случайной величины в i-й интервал

Fi = D Fi*n – теоретическая частота попадания случайной величины в i-й интервал;

(n i – Fi)2/Fi – взвешенный квадрат отклонения.

Для нормального закона возможные значения случайной величины лежат в диапазоне от – ¥ до ¥ , поэтому при расчетах оценок вероятностей крайний левый и крайний правый интервалы расширяются до – ¥ и ¥ соответственно. Вычислить значения функции нормального распределения можно, воспользовавшись стандартными функциями табличного процессора или полиномом наилучшего приближения.

Сумма взвешенных квадратов отклонения c 2 =1,32. Число степеней свободы k=6–1–2=3 (уклонения связаны линейным соотношением , кроме того, на уклонения наложены еще две связи, так как по выборке были определены два параметра распределения). Критическое значение c 2(3; 0,05)= 7,815 определяется по табл. П.3 приложения. Поскольку соблюдается условие c 2 <c 2 (3; 0,05), то полученный результат нельзя считать значимым и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит ЭД.