29. Численное дифференцирование. Постановка задачи. МетодЭйлера

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином)  , для которой приближенно полагают y'(x)= . Численное дифференцирование – некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий (осциллирующий) вклад неустранимой погрешности исходных данных – значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении – «разболтка» решения: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага. Пусть   введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:y'( ) , для i = 0, 1…n-1, интерполяция полиномом первой степени. y''( ) , интерполяция полиномом второй степени.

В общем случае . Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k+1.

Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формулЕ

, где n – число узлов функции, k – порядок производной.

На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:

y'( ) , где h = x₁ – x₀ = const.

y''( ) .

Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция   непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

|y( )- |=O(h)

где h — средний шаг, то есть существует C>0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

30. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином)  , для которой приближенно полагают y'(x)= . Численное дифференцирование – некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий (осциллирующий) вклад неустранимой погрешности исходных данных – значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении – «разболтка» решения: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага. Пусть   введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:y'( ) , для i = 0, 1…n-1, интерполяция полиномом первой степени. y''( ) , интерполяция полиномом второй степени.

В общем случае . Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k+1.

Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формулЕ

, где n – число узлов функции, k – порядок производной.

На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:

y'( ) , где h = x₁ – x₀ = const.

y''( ) .

Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты (распространено неправильное название Ме́тоды Ру́нге — Ку́тта или даже Ме́тоды Ру́нге — Кутта́) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности.

Рассмотрим метод решения уравнения  , имеющий второй порядок точности. Для этого разобьём пополам интервал   между точками   и   .Полученную промежуточную точку обозначим, как  . Запишем явную разностную схему, аппроксимирующую уравнении  на первом полушаге интервала  (т.е., на интервале  ):

=f( )

Следовательно, решение в точке   можно найти с помощью рекуррентного соотношения:

(12.5)

     Зная решение в точке  , можно записать для уравнения   разностную схему, в которой производная по времени будет аппроксимирована центральной конечной разностью:

(12.6)

Где   Видно, что правая часть разностной схемы (12.6) аппроксимируется относительно точки  . Следовательно, разностный оператор в левой части является центральной конечной разностью, которая, как известно, имеет второй порядок аппроксимации.       Введём следующие обозначения:

(12.7)

С учётом рекуррентного соотношения (12.5) и обозначений (12.7) разностная схема (12.6) будет иметь вид:

= =

Таким образом, решение на (n + 1)-ом шаге по времени можно найти с помощью рекуррентного соотношения:

     Описанный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка носит название метода Рунге-Кутта 2-го порядка.