3. Законы распределения надежности.

Основные законы распределения

При изучении надежности технических устройств наиболее часто применяются следующие законы распределения времени безотказной работы (Т): экспоненциальный, нормальный, Релея, Вейбулла.

4. Последовательное соединение элементов в систему

Системой с последовательным соединением элементов называется система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы.

В системе с последовательным соединением для безотказной работы в течение некоторой наработки t необходимо и достаточно, чтобы каждый из ее n элементов работал безотказно в течении этой наработки. Считая отказы элементов независимыми, вероятность одновременной безотказной работы n элементов определяется по теореме умножения вероятностей. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(1)

(далее аргумент t в скобках, показывающий зависимость показателей надежности от времени, опускаем для сокращения записей формул). Соответственно, вероятность отказа такой ТС

(2)

Из формул (1) - (2) очевидно, что даже при высокой надежности элементов надежность системы при последовательном соединении оказывается тем более низкой, чем больше число элементов (например, при р = 0,95 и n = 10 имеем Р = 0,60, при n =15 Р = 0,46, а при n =20 Р = 0,36). Кроме того, поскольку все сомножители в правой части выражения (1) не превышают единицы, вероятность безотказной работы ТС при последовательном соединении не может быть выше вероятности безотказной работы самого ненадежного из ее элементов (принцип “хуже худшего”) и из малонадежных элементов нельзя создать высоконадежной ТС с последовательным соединением.

Если все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации и имеет место простейший поток отказов, наработки элементов и системы подчиняются экспоненциальному распределению и на основании (1) можно записать

(3)

где

(4)

есть интенсивность отказов системы. Таким образом, интенсивность отказов системы при последовательном соединении элементов и простейшем потоке отказов равна сумме интенсивностей отказов элементов.

Из (3) - (4) следует, что для системы из n равнонадёжных элементов ( )

(5)

Лист

т.е. интенсивность отказов в n раз больше, а средняя наработка в n раз меньше, чем у отдельного элемента.

5. Параллельное соединение элементов в систему

Системой с параллельным соединением элементов называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов. Такие схемы надежности характерны для ТС, в которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное соединение используется как метод повышения надежности.

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки. Так что отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

(6)

Соответственно, вероятность безотказной работы

(7)

Для систем из равнонадежных элементов ( )

(8)

т.е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов (например, при р = 0,9 и n = 2 Р = 0,99, а при n = 3 Р = 0,999).

Поскольку , произведение в правой части (6) всегда меньше любого из сомножителей, т.е. вероятность отказа системы не может быть выше вероятности самого надежного ее элемента (“лучше лучшего”) и даже из сравнительно ненадежных элементов возможно построение вполне надежной системы.

При экспоненциальном распределении наработки выражение (8) принимает вид

(9)

откуда после интегрирования и преобразований средняя наработка системы определяется

(10)

где - средняя наработка элемента. При больших значениях n справедлива приближенная формула:

(11)

Таким образом, средняя наработка системы с параллельным соединением больше средней наработки ее элементов (например, при , при ).