2. Экспериментальный анализ одномерной случайной величины

Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных х₁, х₂, . . . , х_N. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной случайной величины производят обычно в такой последовательности.

2.1 Построение вариационного ряда. Вариационный ряд z₁, z₂, . . . , z_N получают из исходных данных путем расположения x_m (m = 1, 2, ..., N) в порядке возрастания от x_min до x_max так, чтобы x_min = z₁ £ z₂ £ ... £ z_N = x_max.

Пусть, например, имеется 5 наблюдений: х₁ = 5; x₂ = 2; х₃ = 4; х₄ = 5; х₅ = 7. Тогда им соответствует вариационный ряд z₁ = 2; z₂ = 4; z₃ = 5; z₄ = 5; z₅ = 7.

2.2 Построение диаграммы накопленных частот , являющейся эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой

, (1.16)

где m_N(х) — число элементов в выборке, для которых значение х_j < х. Практически это делается так. На оси абсцисс указывают значения наблюдений x_т (или z_i). Значение по оси ординат равно нулю левее точки x_min; в точке x_min и далее во всех других точках x_т диаграмма имеет скачок, равный 1/N. Если существует несколько совпадающих значений x_m, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный l/N, где l - число совпадающих точек. Ясно, что для величин х > х_max значение диаграммы накопленных частот равно 1. Отметим, что если N ® ¥, то ® F(x).

2.3 Построение гистограммы выборки. Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Обычно ее строят следующим образом:

1. Находят предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось 0х. Это количество К определяют с помощью оценочной формулы

K = 1 + 3,2 lgN, (1.17)

где найденное значение округляют до ближайшего целого числа.

2. Определяют длину интервала:

. (1.18)

Величину Dх можно несколько округлить для удобства вычислений.

3. Середину области изменения выборки (центр распределения) (х_max + х_min)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего легко находят границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от х_min до x_mах.

4. Подсчитывают количество наблюдений N_m, попавшее в каждый квант: N_m равно числу членов вариационного рада, для которых справедливо неравенство

x_m £ z_l < x_m + Dx. (1.19)

Здесь x_m и x_m + Dx — границы m-го интервала. Отметим, что при использовании формулы (1.19) значения z_l, попавшие на границу между (m—1)-м и m-м интервалами, относят к m-му интервалу.

5. Подсчитывают относительное количество (относительную частоту) наблюдений N_m/N, попавших в данный квант.

6. Строят гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m-м интервале (х_т, х_m + Dх) (т = 1, 2, ..., К) постоянно и равно N_m/N, или с учетом условия равно N_m/N) Dx.

2.4 Определение оценок математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения s_x производят по формулам

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Отметим, что множитель 1/(N — 1) (вместо 1/N) в формуле (1.21) вводится для получения несмещенной оценки дисперсии.