6.2. Метод Гаусса — Зайделя

Метод Гаусса—Зайделя предусматривает поочередное нахождение частных экстремумов целевой функции по^: каждому фактору х_i (i=l, 2, ..., п). При этом на каждом i-м этапе стабилизируют n—1 факторов и варьируют только один, i-й фактор. Графическая интерпретация метода дана на рис. .6.2, где на плоскости двух факторов изображена функция отклика у топографическим способом с помощью замкнутых линий постоянного уровня этой оптимизируемой выходной функции. Эти линии на рис. 6.2 соответствуют некоторым относительным величинам, однако, как указывалось выше, форма функции отклика до начала исследования обычно неизвестна. Путь движения обозначен точками М. Задачу поиска максимума методом Гаусса—Зайделя решают в несколько этапов, объединенных в циклы.

* Под помехоустойчивостью метода будем понимать его способность правильно оценивать направление рабочего движения, а также способность быстро и точно приводить рабочую точку в область экстремума, несмотря на наличие помех .

Рассмотрим процедуру метода с иллюстрацией двухфакторного примера.

I этап. 1. Выбирают основную (начальную, базовую) точку (на рис. 6.2 это точка Мо), обычно она соответствует номинальному режиму ведения технологического процесса . Иногда эту точку выбирают в центре области, которую желательно исследовать, либо в центре области ограничений *, если они имеются. :

2. Выбирают интервал (ступень) варьирования х₁ (рис. 6,2) по фактору х₁. Очевидно, что ступень варьирования не должна быть слишком малой, иначе движение к экстремуму окажется замедленным. Кроме того, на интервале варьирования х_i(i=1,2, ..., п) изменение целевой функции у должно быть существенно большим, чем погрешность ее измерения _у (не менее чем в 5—10 раз).

3. Определяют координаты пробных точек М₁ и М₂:

(6.5)

4. В точках М₁ и М₂ ставят пробные опыты (для повышения точности результатов могут выполняться параллельные опыты), измеряют отклики у(М₁) и у(М₂).

5. Сравнивают полученные отклики, и если

у(М₂)>y(M₁) (6.6)

(как на рис. 6.2), то совершают .рабочее движение, на один рабочий шаг х₁ по направлению в точку М₃.

6. Аналогичные шаги продолжают в том же направлении до тех пор, пока на каком-то k-м шаге не окажется, что

у(М_k)<y(M_k-1) (6.7)

т. е, значение отклика в очередной, k-й рабочей точке станет уменьшаться, — это и служит признаком достижения частного экстремума. За частный экстремум принимают (k— 1)-ю точку с откликом у(М_k-1). На рис. 6.2 это точка М₆.

II этап. Его проводят в том же порядке, что и I этап, с той. лишь разницей, что стабилизируют все факторы, кроме х₂. За новую базовую точку принимают точку с координатами **

, (6.8)

а х₂ варьируют на выбранную по аналогичным условиям величину интервала варьирования х₂. По достижении частного кстремума по фактору х₂ точку нового частного экстремума принимают за новую базовую точку. На рис. 6.2 это точка М₁₁.

* При таком выборе базовой точки все направления оказываются равноправными, а это важно в случае, когда заведомо ничего неизвестно о том, где, хотя бы примерно, расположен экстремум.

** Если начало движения, из точки М₀ сразу совпало с возрастанием у, то в равенстве (6.8) вместо k—2 берут k—1.

Первый цикл продвижения к экстремуму заканчивается n-м этаном, на котором стабилизируют все факторы, кроме x_n. Для него выбирают ступень варьирования х_n и совершают пробное, а затем рабочее движение до достижения частного экстремума по фактору x_n. Если экстремум не достигнут, то выполняют второй цикл поиска.

Второй цикл, как и первый, начинается с I этапа, на котором варьируют фактор х₁ при стабилизации остальных х_i (i1), затем последовательно выполняют п этапов по каждому из п факторов.

Поисковое шаговое достижение к экстремуму заканчивают по достижении такой точкой факторного пространства, при движении из которой в любую сторону по всем п факторным осям x_i в положительном или отрицательном направлениях значения отклика оказываются меньшими. Такую точку принимают за экстремум (максимум).

Достоинства метода Гаусса—Зайделя: 1) очевидная простота стратегии и наглядность; 2) высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.

Недостатки: 1) путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим, особенно при большом числе n факторов; 2) в условиях крупного промышленного производства оказывается трудным застабилизировать п— 1 фактор на длительное время; 3) если поверхность отклика имеет сложную форму (узкие гребни, овраги и т. п.), то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума; 4) метод не дает информации о взаимодействиях факторов.

Исторически метод Гаусса — Зайделя известен как первый из рассматриваемых. В настоящее время он иногда применяется при машинном эксперименте.