Лабораторная работа №2. Построение модели множественной регрессии со статистически значимыми факторами

Пример №2.

Используя исходные данные из примера №1 (рис.1.7.)

Требуется:

1. Построить модели множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

2. Оценить гетероскедастичность дисперсии остатков.

3. Определить наличие автокорреляции остатков с помощью теста

Дарбина-Уотсона.

Решение

1. Исключим несущественный фактор Х₄ (официальный курс рубля по отношению к доллару США) и построим уравнение зависимости

Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.

от объясняющих переменных

X₁ – денежные доходы населения, млрд. руб.;

X₂ – доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.;

X₃ – численность безработных, млн. чел.

Для оценки уравнения множественной регрессии в строке главного меню щелкнем на Сервис и в предложенном меню выберем Анализ данных. В предложенном списке инструментов анализа выберем Регрессия. В появившемся окне «Регрессия» укажем входные данные для оценки параметров регрессии, выводимые результаты и их расположение.

Заполнение окна «Регрессия» для рассматриваемого примера приведено на рис.1.5. (порядок построения уравнения регрессии аналогичен примеру №1). Результаты регрессионного анализа представлены на рис. 1.8.

Модель зависимости оборота розничной торговли запишется в следующем виде:

Y = -178,5 + 0,67X₁ + 1,27X₂ + 7,36X₃ (2)

Оценим адекватность и значимость уравнения (2) по-сравнению с уравнением (1).

Из таблиц (рис. 1.6., 1.8.) видно, что значение коэффициента детерминации (R²) осталось на прежнем уровне, возросло значение скорректированного коэффициента детерминации (нормированный R² ), следовательно, можно сделать ввод об адекватности модели.

Стандартная ошибка регрессии для второго уравнения меньше, чем для первого (6,254<6,392). Расчетное значение F-критерия Фишера увеличилось на 31,8. Значимость F=5,96E-13, что меньше 0,05, таким образом, полученное уравнение в целом значимо. Также можно сделать вывод о том, что все включенные в модель факторы являются значимыми, так как их Р-значение < 0,05 и границы доверительных интервалов не содержат противоречивых значений.

Экономическая интерпретация параметров модели.

Коэффициент b1 = 0,67, означает, что при увеличении только денежных доходов населения (Х1) на 1 тыс. руб. оборот розничной торговли возрастет на 0,67 тыс. руб., а то что коэффициент b2 = 1,27, означает, что увеличение только доли доходов, используемых на покупку товаров и оплату услуг на 1 тыс. руб., оборот розничной торговли возрастет на 1,27 тыс. руб. при условии неизменности других двух факторов, коэффициент b3 = 7,36, означает, что при увеличении только уровня инфляции на 1%, оборот розничной торговли возрастет на 7,36 млрд. руб. при условии неизменности других двух факторов.

Рис. 1.7.

Рис. 1.8.

2. Оценить гетероскедастичность дисперсии остатков.

Одной из предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений.

Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений Х.

Гетероскедастичность – дисперсия объясняемой переменной (а следовательно, и случайных ошибок) не постоянна.

В тестах на гетероскедастичность проверяется основная гипотеза (т.е. модель гомоскедастична) против альтернативной гипотезы : не (т.е. модель гетероскедастична).

Тест Гольдфельда – Квандта (Goldfeld – Quandt).

Этот тест применяется, как правило, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель.

Предполагается, что имеет нормальное распределение. Тест включает в себя следующие шаги:

Упорядочить данные по убыванию (или по возрастанию) той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

Исключить средних (в этом упорядочении) наблюдений ( ), где – общее количество наблюдений).

Провести две независимых регрессии первых наблюдений и последних наблюдений и найти, соответственно, и . Из и выбираем большую и меньшую величины, соответственно, и .

Составить статистику и найти по распределению Фишера , где – число объясняющих переменных модели.

Если , то гипотеза отвергается, т.е. модель гетероскедастична, а если , то гипотеза принимается, т.е. модель гомоскедастична.

Тест выполнен для данных примера 2. Вначале данные упорядочиваем в порядке возрастания переменной (рис. 1.9.). В данном случае

;

Результаты дисперсионного аназиза модели множественной регрессии, включающей восемь первых и восемь последних наблюдений (после ранжирования переменной ), приведены в табл.2,3, соответственно.

F = 191,24 / 15,14 = 12,63.

Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР с уровнем значимости α = 0,05.

F_табл = FРАСПОБР(0,05;4;4)=6,39

Статистика F> F_табл , следовательно, модель гетероскедастична.

Рис.1.9.

Таблица 2

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	2300,313646	766,7712153	16,03777006	0,010759656
Остаток	4	191,241354	47,8103385
Итого	7	2491,555

Таблица 3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	568,9774082	189,6591361	50,09951753	0,001249136
Остаток	4	15,14259182	3,785647955
Итого	7	584,12

3. Определить наличие автокорреляции остатков с помощью теста

Дарбина-Уотсона.

Этот тест используется для обнаружения автокорреляции первого порядка, т.е. проверяется некоррелированность не любых, а только соседних величин . Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной значения .

Гипотеза (автокорреляция отсутствует).

Общая схема критерия Дарбина – Уотсона следующая:

1. По эмпирическим данным построить уравнение регрессии по МНК и определить значения отклонений для каждого наблюдения t (t = 1, 2, …, n). (Для этого в диалоговом окне Регрессия установить флажок на функцию Остатки).

2. Рассчитать статистику DW:

3. По таблице критических точек распределения Дарбина –Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных определить два значения: - нижняя граница и - верхняя граница (таблица 4).

4. Сделать выводы по правилу:

- существует положительная автокорреляция ( ), отвергается;

- вывод о наличии автокорреляции не определен;

- автокорреляция отсутствует, принимается;

- вывод о наличии автокорреляции не определен;

- существует отрицательная автокорреляция ( ), отвергается.

Таблица 4.

Статистика Дарбина – Уотсона, уровень значимости 0,05
	1		2		3		4		5
20	1,20	1,41	1,1	1,54	1,00	1,67	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,66	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89

Тест проводится на исходных данных примера 2 (рис.1.7.). Для проведения теста надо поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии. Отчет по регрессии приведен на рис. 1.8. Данные для теста по остаткам приведены в таблице 5. Сумма равна рис.1.8. Таким образом, получаем, что . По таблице при и находим и .

Следовательно, в рассматриваемом примере . Таким образом, вывод о наличии автокорреляции не определен.

Таблица 5

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки et	et-1	(et- et-1)^2	(et)^2
1	79,27	-2,87			8,26
2	80,73	-3,13	-2,87	0,06	9,79
3	91,34	-3,14	-3,13	0,00	9,87
4	85,89	1,41	-3,14	20,71	1,99
5	84,01	-1,51	1,41	8,52	2,28
6	79,73	-0,33	-1,51	1,39	0,11
7	74,74	5,56	-0,33	34,73	30,97
8	85,04	-4,94	5,56	110,43	24,44
9	104,07	1,13	-4,94	36,95	1,29
10	100,16	2,34	1,13	1,45	5,46
11	105,22	3,48	2,34	1,30	12,09
12	92,88	11,62	3,48	66,36	135,09
13	105,22	-1,52	11,62	172,79	2,32
14	108,77	9,03	-1,52	111,25	81,46
15	118,40	-2,60	9,03	135,07	6,74
16	123,67	-5,87	-2,60	10,74	34,49
17	120,56	-2,16	-5,87	13,79	4,66
18	122,19	-1,79	-2,16	0,14	3,21
19	131,91	-8,11	-1,79	39,86	65,70
20	138,32	-3,42	-8,11	21,93	11,71
21	138,99	-8,49	-3,42	25,65	72,01
22	143,17	-2,47	-8,49	36,19	6,10
23	148,37	2,03	-2,47	20,28	4,13
24	156,95	15,75	2,03	188,12	248,02
			сумма	1057,70	782,19