16.Векторное произведение векторов и его свойства.

3 некомпланарных вектора проведенных к общему началу образуют правую тройку векторов если из конца вектора с кротчайший поворот от вектора а к b виден против часовой стрелки и левую тройку если по часовой стрелке.

Векторным произведение вектора а на неколлинеарный ему вектор b называется такой вектор с который удовлетворяет следующим трем условиям:

-длина |c|=площади пар-ма построенного на векторах а и b;

-вектор с перпендикулярен (а;b);

-вектор с направлен так чтобы из конца с кратчайший поворот от а к b был виден против часовой стрелки, т.е. чтобы а,b и с образовывали правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначается a x b.

Свойства:

1). a x b = -b x a;

2). Ma x b = a x b;

3).(a+b) x c = a x c + b x c;

a(x1;y1;z1) и b(x2;y2;z2), тогда а х b в координатной форме вычисляется следующим образом:

a x b= |i j k|

|x1 y1 z1|

|x2 y2 z2|

17.Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением 3-х векторов а,в и с в пространстве называется скалярное произведение векторо а*в * с.

Смешанное произведение векторов а,в и с=0 тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Для любых трех векторов а,в и с имеет место соотношение :|(a*b)*c)|=v, т.е.модуль их смешанного произведения численно равен V параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки.

Смешанное произвеление векторов в координатной форме а(x1,y1,z1), b(x2,y2,z2), c(x3,y3,z3) вычисляется по формуле

_ _ _ x1 y1 z1

(a*b)*c =x2 y2 z2 x3 y3 z3

19.Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка, свойства определителей.

Минор элемента аij называется определитель n-1 порядка, полученный из определителя n-ого порядка вычеркиванием строки i и номером столбцаj.

Минор обозначается Мij.

Алгебраическое дополнение элементов аij обозначается Аij и вычисляется по формуле Аij= (-1) в степени i+j *Mij, тогда определитель n-ого порядка можно вычислить по формуле:

Дельта=

Этот способ вычисления определителей называется разложением по элементам строки или столбца .

Определитель второго порядка в общем виде записывается

А11 а12

Дельта=а21 а22

И вычисляется по формуле

Дельта=а11*а22-а21*а12, т.е определитель равен разности элементов стоящих по главной и второстепенной диагоналям.

Определитель третьего порядка в общем виде записывается

А₁₁ а₁₂ а₁₃

Дельта= а₂₁ а₂₂ а₂₃

А₃₁ а₃₂ а₃₃

И вычисляется по формуле

А11*а22*а33+а21*а32*а31+а12*а23*а31-а31*а22*а13-а21*а12*а33-а32*а33*а11

№20. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Общее уравнение прямой - уравнение первой степени с двумя неизвестными в общем виде можно написать Ax+By+C=0 А и В одновременно не равняется 0.

№21. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.

Пусть b проходит через M0 (Х0,У0); и перпендикулярно n(A;B). Вектор перпендикуляр данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Возьмем на прямой b точку M(X,Y); n перпендикулярно M0М значит их скалярное произведение равно 0. N* M0M=0.

Т.к. M0М(Х- Х0; Y- У0), то получим А(Х- Х0)+В(Y- У0)=0.

№22. Уравнение прямой проходящей через две точки. Пусть прямая L проходит через точки M1(X1,Y1) M2(X2,Y2)

Вектор M1 M2 будет являться этой прямой.

Т.к. M1 M2 (X2- X1; Y2- Y1) то подставим координаты точки M1 M2 в уравнение (x-x0)/a1=(y-y0)/a2

Получим (X- X1)/( X1-X1)=(Y-Y1)/(Y2-Y1)

№23 Уравнение прямой в отрезках. Пусть в отсекает на оси ОХ о трезок равный а на оси ОУ отрезок равный в.

Обозначим точки пересечения прямой l с осями координат Ох и Оу соответственно через АиВ.

Тогда точка А имеет координаты (а;А) а точка В-координаты (0;в).Составим уравнение прямой l как прямой ,проходящей через две точки А(а;0); и В(0;в). Заменив в (4) х1 ,у1, координатами точки А и х₂, у₂-координатами точки В,получим

, откуда

№24Расстояние от точки до прямой. М₀ (х₀у₀) Ах+Ву+С=0 d=

№25 Угол между прямыми. Пусть даны две прямые l1 у=k₁x+b₁ l2 y=k₂x+в₂ из треугольника АВС следует что угол Вэта =углу альфа +угол фи Угол фи=угол бэта-угол альфа tgфи=tg(бэта –альфа) или получим tgфи=

№26 Условие перпендикулярности прямых. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны то их нормальные векторы М₁ и М₂ также будут перпендикулярны а значит их скалярное произведение=0 n₁ *n₂ =0 A₁ *A₂ +B₁*B₂ =0

№27 Условие параллельности прямых. Если прямые l₁ и l₂ параллельны то их нормальные векторы будут калинеарны а значит соответствующие координаты пропорциональны тоесть будет

№28 Окружность и его уравнение. Окружностью называется множество точек плоскости одинаково удалённых от данной точки называемой центром .Пусть дана Окружность радиуса r и с центром в точке О₁(a,b) Возьмём на окружности произвольную точку М(х,у) тогда длинна (О,М)=rДлину отрезка можно записать квадрат=r² (x-a)²+(y-b)²=r² если центр окружности находится в начале координат то уравнение имеет вид x²+y²=r²

№29. Эллипс и его уравнение. Выберем систему координат таким образом чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось ОХ через середину отрезка соединяющую фокусы.

Пусть (.)М(Х,У) произвольная точка эллипса.

Обозначим сумму расстояний от (.)М до фокуса через 2а |F₁M|+ |F₂M|=2a

Расстояние между двумя фокусами через 2с, тогда F₁(-c,0) F₂(c,0)

Уравнение эллипса сводиться к видуx² + =1

№30.Гипербола. Уравнение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называется фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

|r₁-r₂|=2a

Из него можно получить уравнение гиперболы: - =1

№31. Парабола и ее уравнение. Множество точек плоскости одинаково удаленных от данной точки называется фокусом и от прямой называемой директрисой. Выберем систему координат таким образом чтобы ось ОХ проходила через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ОУ через середину отрезка соединяющего фокусы директрис. Y²=2px.