16) Узкополосный случайный процесс. Огибающая и полная фаза узкополосного случайного процесса.
Согласно теореме Винера-Хинчина,
корреляционная функция и спектральная
плотность мощности случайного процесса
связаны друг с другом преобразованием
Фурье. Узкополосный характер спектра
говорит о том, что корреляционная функция
имеет вид узкополосного радиосигнала:
где
и
- медленно (по сравнению с
)
меняющиеся функции.
Узкополосный спектр и осциллирующий характер корреляционной функции означают, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:
,
у которых как огибающая A(t),
так и начальная фаза
являются случайными функциями,
медленно (по сравнению с
)
изменяющимися во времени.
Вероятность попадания в бесконечно малую область в окрестностях каждой точки комплексной плоскости при смене системы координат должна, очевидно, остаться неизменной
Чтобы найти одномерные плотности вероятности для огибающей и фазы, нужно проинтегрировать двумерную плотность по «лишним» координатам:
Так как двумерная плотность не зависит
от фазы
,
плотность вероятности амплитуды
рассчитывается так:
фаза имеет равномерное распределение
на интервале
.
Физически это означает отсутствие
какого-либо преимущественного значения
полной фазы у отдельных реализаций
узкополосного случайного процесса.
амплитуда и полная фаза узкополосного случайного процесса в один и тот же момент времени являются статистически независимыми
17) Узкополосный случайный процесс при наличии детерминированной составляющей.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к узкополосному шуму добавлен узкополосный же детерминированный сигнал. Комплексный случайный процесс в данном случае будет иметь следующий вид:
Совместная плотность вероятности
вещественной и мнимой частей этого
комплексного процесса будет отличаться
от (2) наличием смещений для
и
,
равных
и
,
соответственно:
Переход от декартовой системы координат к полярной, аналогичный рассмотренному ранее (3), дает следующее:
Интегрирование этой двумерной плотности
по фазе
дает одномерную плотность вероятности
для амплитуды данного случайного
процесса (промежуточные выкладки
опущены):
где
- амплитудная огибающая детерминированного
сигнала в данный момент времени.
Плотность вероятности носит название закона распределения Рэлея-Райса.
.
18) Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал
Рассмотрим линейную стационарную
систему (фильтр), которая характеризуется
своей импульсной характеристикой
или, что эквивалентно, своей частотной
характеристикой
,
где
и
связаны парой преобразований Фурье.
Пусть x(t) означает входной, а y(t) - выходной сигналы системы. Выход системы можно выразить интегралом свертки
спектральная плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.
При расчете автокорреляционной функции
обычно легче определить
спектральную плотность мощности
и затем вычислить обратное преобразование
Фурье. Таким образом, имеем
(6)
Видим, что средняя мощность выходного сигнала
(7)
Так как
,
то
