4. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними.

Вектор – в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением.

Основные определения и понятия.

Базис – множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества базисных векторов.

Ортогональный базис - ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Координаты вектора – коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Коллиниарность – отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Ортогональность – понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением. Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Линейная зависимость – это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Действия над векторами.

Сложение. Сложение производится по правилу треугольника или правилу параллелограмма.

Вычитание. Операция вычитания сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму.

Скалярное произведение. Скалярное произведение вводится, как произведение двух векторов умножить на косинус угла между ними.

Векторное произведение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям: длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними, вектор c ортогонален каждому из векторов a и b, вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Смешанное произведение. Смешанное произведение векторов abc – скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

6. Коллиниарность и компланарность векторов.

Коллиниарность – отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Компланарность. Компланарными называются векторы, которые лежат в одной плоскости, будучи приведенные к общему началу.

7. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, определения, свойства, геометрический смысл векторного и скалярного произведений.

Скалярное произведение. Скалярное произведение вводится, как произведение двух векторов умножить на косинус угла между ними.

Векторное произведение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям: длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними, вектор c ортогонален каждому из векторов a и b, вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Смешанное произведение. Смешанное произведение векторов abc – скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.