33. Преобразования афинной симметрии.

Геометрические преобразования аффинных групп симметрий относятся к группе гомологии. Гомологически равными считаются формы криволинейно симметричные, преобразуемые друг в друга однородными деформациями. Оси гомологии в отличие от осей симметрии представляют собой оси косых поворотов вокруг прямой, сложных пространственных изгибов и кручений. Все эти преобразования рассматриваются как отдельные группы симметрии, имеющие свои законы движений. В аффинной симметрии происходят преобразования, заключающиеся в изменении пространственного расположения исходной формы с одновременными однородными деформациями формы. Аффинная симметрия проявляется в трех видах: растяжение, сжатие и сдвиг. Формы считаются неизменными относительно преобразований аффинной симметрии. Растяжение – это такое изменение в геометрии формы, при котором сохраняется неизменным положение одной плоскости, называемой плоскостью растяжения, а все другие параллельные ей плоскости перемещаются в направлении растяжения. Сжатие – операция, противоположная растяжению. Величина сжатия пропорциональна расстоянию от плоскости сжатия. При сжатии форма уменьшается в заданном направлении. Под сдвигом понимается такое изменение формы, при котором остается неподвижной так называемая плоскость сдвига, она становится плоскостью основания для сдвигаемой формы, остальные параллельные ей плоскости перемещаются в самих себе по направлению сдвига. При этом вертикальная ось формы принимает наклонное положение, в результате чего происходит изменение пластики формы с сохранением ее объема. Величина сдвига пропорциональна расстоянию от плоскости сдвига. Для задания оси сдвига необходимо указать направление и величину сдвига, то есть угол между направлением оси и нормалью к плоскости перемещения.

Преобразования симметрии подобия являются частным видом аффинной группы. Подобно равными считаются все фигуры одной и той же формы. Симметрия подобия проявляется в двух видах: параллельном и спиральном движениях. Симметрия параллельного движения заключается в переносе всех подобных частей формы в параллельное положение с одновременным увеличением или уменьшением масштаба частей и расстояний между ними в n раз. Такой вид симметрии подобия называется «операция К». Прямые, проходящие через соответствующие точки, сходятся в определенной точке, которая называется «особенной». Уменьшающиеся формы исчезают в особенной точке, увеличивающиеся уходят в бесконечность. По этому принципу сделаны матрешки, собирающиеся одна в другую. Принцип симметрии параллельного движения наблюдается в природе: образование конической формы деревьев, пирамидальной формы кристаллов и т.д.

Симметрия подобия спирального движения заключается в последовательном повороте форм относительно оси поворота на определенный угол с одновременным увеличением или уменьшением масштаба. Этот вид симметрии подобия называется «операция L», которая слагается из последовательно произведенных поворотов вокруг оси подобия, обозначаемой символом L, на некоторый угол и операции К. Соответственные части развивающихся таким образом форм должны лежать на логарифмической спирали. При этом угол поворота может иметь любую долю полного оборота. Симметрия подобия спирального движения, или винтовая симметрия, наблюдается во многих формах живой и неживой природы, например моллюски со спиральными раковинами. Винтовая симметрия присуща растущим формам как живой, так и неживой природы, она наблюдается в расположении листьев у растений. Винтовая симметрия обеспечивает динамику объема или пространства вдоль своей оси.

34. Преобразования симметрии подобия.

35. Преобразования криволинейной симметрии.

В криволинейной симметрии рассматриваются формы, полученные от исходной вертикальной путем операции сдавливания, изгиба, слома и кручения. В результате преобразования криволинейной симметрии оси и плоскости исходной формы превращаются в кривые линии и поверхности. Криволинейная симметрия свойственна биологическим формам.

Сдавливанием называется деформация, изменяющая симметричную форму в месте приложения деформирующего усилия, в результате форма сохраняет массу, но существенно меняет пластику.

Изгиб – это деформация исходной симметричной формы, в результате которой она приобретает криволинейные ось и поверхность. Изгиб формы может быть произведен в одном или нескольких направлениях. В зависимости от степени изгиба оси соответственно меняется силуэтная пластика форм. Пластические изгибы подразделяются на простые и сложные. В формах с простым пластическим изгибом вертикальной оси формы задано простое правое или левое движение, а в формах со сложным изгибом задано сложное правое или левое движение вертикальной оси. И в том и в другом случае изгиб характеризует форму в двух плоскостях: фронтальной и сагиттальной. Аналогами простых право-левых изгибов являются формы многих кристаллов, строение живых организмов в их историческом развитии.

Слом формы может быть получен при условии «слома» вертикальной оси в одном или нескольких направлениях. В результате форма расчленяется на составляющие, которые располагаются на одной или нескольких осях, находящихся под углом друг к другу. Для построения геометрических моделей симметрии этого типа задают характерные направления вертикальной оси, относительно которой располагаются объемы формы. Дробная пластика измельченных силуэтов есть функция преобразований операции слома. Примерами слома являются формы живой природы.

Кручение формы может быть получено при сложном движении фигуры вокруг своей оси, деформирующем форму. Обычная симметричная форма в этом случае деформируется в правую или левую стороны. В результате форма приобретает новую пространственную ориентацию и соответствующую ей пластику. Степень кручения зависит от величины приложенного усилия.