15 Рівняння в повних диференціалах

Означення 2.15. Рівняння (2.5) називається рівняння в повних диференціалах, якщо його ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції тобто

.(2.92)Загальний інтеграл диференціального рівняння (2.5) має вигляд .(2.93)Особливих розв’язків в цьому випадку диференціальне рівняння (2.5) не має.Теорема 2.4. Для того, щоб диференціальне рівняння (2.5) було рівнянням в повних диференціалах необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

.(2.94)Доведення. Необхідність. Нехай диференціальне рівняння (2.5) є рівнянням в повних диференціалах . Звідси . (2.95)А це означає, що виконується (2.94).Достатність. Нехай умова (2.94) виконується. Покажемо, що існує , яка задовольняє диференціальне рівняння (2.92) або ж (2.95). Розглянемо перше рівняння з системи (2.95)

.(2.96)Рівняння (2.96) задовольняє функція (2.97) де – довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи (2.95)

.Останнє співвідношення запишемо таким чином . Використавши (2.94), отримаємо

.Отже .

Теорема доведена.

Покладаючи , тоді загальний інтеграл диференціального рівняння (2.5) буде , тобто .(2.98)Якщо при побудові функції взяти спочатку друге рівняння системи (2.95), то отримаємо

(2.99)В формулах (2.98), (2.99) точки вибирають довільно, але так , щоб інтеграли мали зміст. Якщо точки вибрані вдало, то задача інтегрування спрощується.

16 Інтегрувальний множник.Розглянемо диференціальне рівняння (2.5), яке не є рівнянням в повних диференціалах.В багатьох випадках диференціальне рівняння (2.5) можна домножити на функцію , після чого воно стане диференціальним рівнянням в повних диференціалах. Функцію називають інтегрувальним множником, а – відповідним йому інтегралом диференціального рівняння (2.5), тобто

.(2.102) Звідки ,(2.103) отже

.Маємо

(2.104)– це рівняння в частинних похідних першого порядку відносно функції . В загальному випадку знайти з рівняння (2.104) важко.

Розглянемо випадки , коли можна визначити з (2.104).

А. При маємо диференціальне рівняння

.(2.105)Для існування інтегрувального множника в такій формі необхідно, щоб

,(2.106) тоді , тобто .(2.107) Для простоти візьмемо , будемо мати

.(2.108)

Б. Маємо . Звідки . Якщо , то .(2.109)

В. , де – відома функція. Тоді рівняння (2.104) приймає вигляд

.Якщо , то

.(2.110) При умові, якщо

, (2.111) то диференціальне рівняння (2.110) можна проінтегрувати і знайти

.(2.112)Знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки. Так як , то , тобто диференціальне рівняння (2.5) перепишемо так

.(2.113) Звідки дає інтеграл . А рівняння може дати особливі розв’язки. Для їх знаходження потрібно:

знайти криві, на яких приймає нескінченні значення;

перевірити, чи є ці криві розв’язками диференціального рівняння (2.5);

перевірити єдиність в кожній точці цих кривих.

Якщо ж обмежена функція , то особливих розв’язків немає.

17 Теореми про існування, неєдиність та загальний вигляд інтегрувального множника Теорема 2.5 (про існування інтегрального множника). Якщо диференціальне рівняння (2.5) має загальний інтеграл , для якого існують частинні похідні другого порядку , то це рівняння має інтегрувальний множник.

Доведення. Так як інтеграл , то в силу (2.5), тобто

,де і зв’язані диференціальним рівнянням (2.5). Так , що і задовольняють системі рівнянь

.(2.114) Підставивши в одне з рівнянь , тобто виключаючи його і в силу довільності будемо мати з (2.114) , тобто . (2.115) Звідки , тому

.Теорема доведена. Теорема 2.6 (про неєдиність інтегрувального множника). Якщо інтегрувальний множник диференціального рівняння (2.5), а відповідний йому інтеграл, то ,(2.116)де – будь-яка неперервно–диференційована функція не рівна тотожньо нулю, також є інтегрувальним множником диференціального рівняння (2.5).Доведення. Дійсно, помножимо диференціальне рівняння (2.5) на , отримаємо

Тобто ліва частина є повним диференціалом функції , а це означає, що функція , визначена співвідношенням (2.116), є інтегрувальним множником.Теорема 2.7 (про загальний вигляд інтегрувального множника). Два будь-яких інтегрувальних множника і диференціального рівняння (2.5) зв’язані співвідношенням . (2.117)Доведення. Нехай і – інтегрувальні множники, яким відповідають інтеграли і , тобто

.Поділимо перше рівняння на друге, отримаємо Але два інтеграли диференціального рівняння (2.5) залежні, тобто , де – диференційована функція. Маємо

.Терема доведена.

18 Теорема про достатні умови існування і єдиності розв’язку Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної має вигляд (3.1) Найбільш часто зустрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ого степеня . (3.2) Означення 3.1. Функція , визначена і неперервно диференційовна на , називається розв’язком диференціального рівняння (3.1), якщо вона після підстановки в (3.1) перетворює це диференціальне рівняння в тотожність .Означення 3.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок диференціального рівняння (3.1) в неявній формі, якщо воно визначає як функцію і вона є розв’язком диференціального рівняння (3.1).Означення 3.3. Говорять, що співвідношенням , , , визначається розв’язок диференціального рівняння (3.1) в параметричній формі, якщо .Криві на площині , які відповідають розв’язкам, будемо називати інтегральними кривими.Задача Коші – задача знаходження розв’язків, які задовольняють умові .Означення 3.4. Говорять, що задача Коші для диференціального рівняння (3.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якщо через точку в достатньо малому околі її проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає диференціальне рівняння в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 3.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).Якщо функція задовольняє наступним умовам:а) є визначеною і неперервною разом зі своїми частинними похідними в деякому замкнутому околі точки ;б) ;в) ,то диференціальне рівняння (3.1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно–диференційовний в околі точки , який задовольняє умові і такий, що . (Теорема без доведення).Припустимо, що розв’язуючи диференціальне рівняння (3.1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки ,(3.3)де визначені в області так, що ми маємо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в будь якій точці напрямки поля, визначені кожним диференціальним рівнянням (3.3), різні. Так що інтегральні криві різних рівнянь не можуть дотикатися один одного на .Нехай кожне диференціальне рівняння (3.3) на має загальний інтеграл .(3.4)

19. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язокПрипустимо, що диференціальне рівняння (3.1) представлено в формі (3.3). При дослідженні на особливий розв’язок рівнянь виду (3.3) ми вище прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких є необмеженою. Але переходити від диференціального рівняння (3.1) до рівнянь (3.3) – недоцільно при визначені особливих розв’язків, так як .Дійсно, припустимо, що існують похідні та ,тоді .Звідки (3.12)Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові .(3.13)Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи .(3.14)Розв’язком системи (3.14) =0(3.15)є дискримінантна крива. Якщо вона задовольняє диференціальне рівняння (3.1) і в кожній точці порушується єдиність, то це буде особливий розв’язок.

20 Загальний метод введення параметруРозглянемо диференціальне рівняння (3.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(3.18)так, що при всіх значеннях параметрів і .Використовуючи (3.18) і співвідношення ми завжди диференціальне рівняння (3.1) можемо привести до диференціального рівняння, яке розв'язане відносно похідної

.Тому .Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до диференціального рівняння . (3.19)Якщо (3.20)

– загальний розв'язок диференціального рівняння (3.19), то загальний розв'язок диференціального рівняння (3.1) можна отримати в параметричній формі . (3.21