5. Визначники та їх властивості. Формули Крамера.

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Визначники другого порядку.

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими, де коефіцієнти і вільні члени і вважаються заданими. Розв’язок системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими за умови, що :

Визначник (детермінант) системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Визначники, які одержують із визначника системи заміною відповідно першого або другого стовпця стовпцем вільних членів:

Умови, за якими система двох лінійних рівнянь розв’язку не має, тобто система не сумісна.

, ,

Умови, за якими системи зводяться до одного з її рівнянь і має безліч розв’язків, які визначаються рівнянням: ; ; , , ,

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Визначники третього порядку.

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими (коефіцієнти і вільні члени , і вважаються заданими).

Визначник системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Визначники, які одержують із визначника системи трьох лінійних рівнянь, заміною відповідно першого, другого або третього стовпця стовпцем вільних членів:

Умова, за якою система трьох лінійних рівнянь розв’язків не має: , і принаймні один із визначників не дорівнює нулю.

Умова, за якою система має безліч розв’язків: .

Найпростіші властивості визначників:

1) - при транспонуванні матриці її визначник змінюється.

2) Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

3) Від переставляння двох довільних рядків (стовпців) визначник змінює знак.

4) Якщо визначник містить два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.

5) Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника помножити на одне й те ж число, то і весь визначник помножиться на це число. Тобто, спільний множник усіх елементів рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.

6) Якщо всі елементи одного рядка (стовпця) визначника пропорційні відповідним елементам іншого рядка (стовпця), то визначник дорівнює нулю.

7) Якщо всі елементи і-того рядка (стовпця) визначника представлені у вигляді суми k доданків, то і весь визначник представляється у вигляді суми k визначників, у яких всі рядки (стовпці) крім і-того такі ж , як і в початкового визначника, і-й рядок (стовпець) у першому визначнику складається з перших доданків, у другому – з других і т. д.

8) Якщо до одного рядка (стовпця) визначника додати один або більше інших рядків (стовпців), помножених на будь-які числа, то значення визначника не зміниться.

9) Якщо хоча б один рядок (стовпець) визначника лінійно виражається через інші його рядки (стовпці), то він дорівнює нулю. Справедливе і обернене твердження.

Формула Крамера: ,

6. Основні поняття і означення матриць. Види матриць. Дії над матрицями. Метод Гаусса.

Матриця – це прямокутна таблиця чисел:

Види матриць:

Матриця-рядок – це матриця, яка має лише один рядок:

Матриця-стовпець – це матриця, що має лише один стовпець:

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю , називається нульовою:

Квадратною матрицею n-го порядку називається матриця, яка містить однакову кількість рядків і стовпців . Кажуть, що елементи квадратичної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи - другу (побічну) діагональ:

Діагональна матриця, в якої всі елементи головної діагоналі рівні одиниці, називаються одиничною матрицею. Одиничну матрицю стисло позначають так: , де при , при . Запис означає одиничну матрицю n-го порядку:

Діагональною називається матриця, в якої всі елементи, що не належать головній діагоналі дорівнюють нулю:

Якщо в матриці А поміняти місцями рядки і стовпці, то одержана матриця називається транспонованою до матриці А і позначається через :

Сумою двох матриць називається матриця кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів даних матриць.

Аналогічно віднімають.

Додавати та віднімати матриці можна тільки однієї розмірності.

Добутком матриці на число називається матриця кожен елемент якої помножений на це число.

Добутком матриці розмірністю на матрицю розмірності називається матриця розмірністю кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів рядка першої матриці на відповідні елементи стовпчика другої матриці.

Метод Гаусса розв’зуваня системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Метод послідовного виключення невідомих, запропонований Гауссом, розглянемо на прикладі системи m рівнянь з n невідомими:

Над системами лінійних рівнянь можна виконувати такі перетворення, які називаються елементарними:

1. множення деякого рівняння на відмінне від нуля число;

2. додавання до деякого рівняння системи іншого рівняння, помноженого на деяке число;

3. перестановку рівнянь.

Ці перетворення не порушують рівносильності системи.

За допомогою перетворення 2) можна з усіх рівнянь, крім першого вилучити (при умові, ; якщо , то на місце першого рівняння потрібно перемістити інше рівняння, в якому коефіцієнт при не дорівнює нулю). Далі з усіх рівнянь, крім перших двох, вилучимо і т. д. В результаті одержимо так звану східчасту (трапецієвидну) систему або систему трикутного вигляду.

7. Мінор та алгебраїчне доповнення. Означення та формула оберненої матриці. Матричне розв’язання систем рівнянь.

Мінором M_ij елемента А_ij називається визначник на порядок нижчий утворений з даного в результаті викресленого і-того рядка j-того стовпчика.

Алгебраїчним доповненням А_ij елемента а_ij називається добуток

Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А , якщо виконуються рівності

А^-1А=АА^-1=Е, де Е— одинична матриця

Формула:  матриця транспонована, А_ij— алгебраїчні доповнення

Система лінійних рівнянь є матричне рівняння: AX=B

A — матриця-система складена з коефіцієнтів при невідомих;

X — матриця-стовпчик невідомих;

B — матриця-стовпчик вільних членів.

8. Вектори, довжина вектора. Дії над векторами: додавання, віднімання, скалярне множення.

Вектор – будь-який напрямлений відрізок.

Модуль вектора (довжина) – довжина напрямленого відрізка, яка визначає числове значення вектора. Модуль вектора скалярна величина.

Два вектори називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові довжини, лежать на паралельних прямих або на одній прямій, і на прямлені в один бік. З означення рівності векторів випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержується вектор, який дорівнює даному.

Якщо початок вектора співпадає з його кінцем, то вектор називається нульовим (позначається ). Напрям нульового вектора невизначений (довільний).

Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих називаються колінеарними.

Вектори, які лежать на одній площині або на паралельних площинах називаються компланарними.

Додавання векторів

1) Сумою двох векторів і називається вектор , який виходить з їхнього спільного початку і є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і : (правило паралелограма):

2) Правило трикутника: сумою векторів і є вектор , напрямлений з початку першого вектора в кінець другого при умові, що другий вектор прикладений до кінця першого. Це правило поширюється на будь-яку кількість векторів:

4. На малюнку показано знаходження суми чотирьох векторів , , i за правилом многокутника. :

Властивості додавання векторів

• Переставний (комутативний) закон:

• Сполучний (асоціативний) закон:

Віднімання векторів

1. Різницею двох векторів і називають такий вектор , який треба додати до вектора для того, щоб одержати вектор .

, якщо

2. Вектор напрямлений з кінця вектора – від’ємника в кінець вектора – зменшуваного за умови, що вектор і зведені до спільного початку.

Множення вектора на скаляр

Добутком вектора на скаляр вектор , колінеарний вектору з модулем і напрямом при протилежний напряму при .

Властивості множення вектора на скаляр

• Сполучний закон відносно скаляра:

• Розподільний закон відносно вектора:

• Розподільний закон відносно скаляра:

• Вектор можна подати через добуток одиничного вектора (орта), що має напрям вектора на модуль вектора :

Скалярним добутком двох векторів називається число (скаляр) , яке дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними.

Способи позначення скалярного добутку:

Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них і прекції другого вектора на напрям першого.

;

Властивості скалярного добутку:

• Якщо і ненульові, але перпендикулярні вектори:

• Якщо кут між векторами гострий:

• Якщо кут між векторами тупий:

• Переставна властивість скалярного добутку:

• Розподільна властивість скалярного добутку:

• Скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку:

, або

Скалярний добуток векторів, що задані своїми координатами

Скалярний добуток векторів і заданих своїми координатами

Визначення кута між двома векторами через їхній скалярний добуток

Косинус кута між двома векторами дорівнює їхньому скалярному добутку, поділеному на добуток їхніх довжин:

Косинус кута між двома векторами в координатній формі:

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів

або