§4. Спектральное разложение самосопряженного компактного оператора

Из теории Фредгольма следует, что любое , принадлежащее спект-ру компактного оператора, является его собственным значением.

Т е о р е м а 1 (О т о ч е ч н о м с п е к т р е к о м п а к т н о г о с а м о с о п р я ж е н н о г о о п е р а т о р а). Всякий компактный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовой пространстве ненулевой размерности, имеет хотя бы одно собственное значение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В предыдущем параграфе была установлена формула

.

Выберем последовательность точек единичной сферы, для которой при . Поскольку значения вещественны, то можно считать сходящейся и саму последовательность . Ее предел удовлетворяет условию . Покажем, что является собственным значением оператора . В силу компактности оператора най-дется подпоследовательность , для которой сходится. Пусть ее предел. Поскольку , то

.

С другой стороны,

.

Поэтому и при . Последнее означает, что

при . Но тогда

,

т.е. является собственным вектором, отвечающим собственному значению .



З а м е ч а н и е. Из доказательства теоремы следует, что наибольшее по модулю собственное значение удовлетворяет условию

,

а вектор, на котором этот максимум достигается, является собственным вектором.

Отмеченное экстремальное свойство указывает практический способ отыскания собственных значений компактного самосопряженного оператора.

Т е о р е м а 2 (Г и л ь б е р т а – Ш м и д т а). Пусть компактный самосопряженный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве . Тогда существует конечная или счетная ортонормированная система собственных векторов , отвечающая ненулевым собственным значениям , такая, что каждый элемент единственным образом представляется в виде

,

где , а , т.е. . При этом

. (4.1)

Доказательство теоремы приведено в [1].

З а м е ч а н и е. Формула (4.1) дает спектральное разложение компактного самосопряженного оператора. Если сепарабельное прост-ранство, то можно в выбрать ортонормированную систему, которая вместе с будет образовывать базис в . Таким образом, в сепарабельном гильбертовом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов компактного самосопряженного опера-тора.

Дополнение Пространства Лебега

Пусть некоторое пространство с мерой , причем мера данного пространства конечна. Рассмотрим совокупность всех функций , интегри-руемых на . Как известно, линейная комбинация интегрируемых функций интегрируема, и потому эта совокупность, снабженная операциями сложения функций и умножения их на числа, образует линейное пространство. Это пространство обозначается или .

О п р е д е л е н и е 1. Пространством называется линейное норми-рованное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой интегрируемых функций; сложение элементов в и умно-жение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функции, а норма задается формулой

.

С помощью формулы

в пространстве можно ввести расстояние. Сходимость последователь-ности интегрируемых функций в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднем.

Т е о р е м а 1. Пространство полно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фундаментальная последователь-ность в , т.е.

при .

Тогда найдем такую возрастающую последовательность , что

.

Из данного неравенства и теоремы Б.Леви следует, что ряд

сходится почти всюду на . А тогда ряд

сходится почти всюду на к некоторой функции

.

Итак, фундаментальная последовательность в содержит подпос-ледовательность, сходящуюся почти всюду.

Теперь покажем, что подпоследовательность сходится к той же функции в среднем. В силу фундаментальности последовательности , при любом фиксированном для всех достаточно больших и имеем

.

Применяя теорему Фату, заметим, что в этом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при . Тогда

,

откуда следует, что , а . Поскольку фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, то и сама она сходится к этому же пределу.

Теорема доказана.



Таким образом, является банаховым пространством, однако норму элемента в этом пространстве нельзя задать в виде скалярного произведения. Перейдем к рассмотрению пространства, в котором это возможно.

О п р е д е л е н и е 2. Измеримая функция называется функцией с интегрируемым квадратом на , если интеграл

существует и конечен. Совокупность всех таких функций обозначим или .

Приведем некоторые основные свойства функций с интегрируемым квадратом.

1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегри-руемая функция.

Это непосредственно вытекает из неравенства

и свойств интеграла Лебега.

2. Сумма двух функций из также принадлежит .

Действительно,

.

В силу свойства 1 каждая из трех функций, стоящих справа, интегрируема.

3. Если и произвольное число, то

Действительно, если , то

.

Свойства 2 и 3 означают, что линейные комбинации функций из снова принадлежат . Поскольку при этом сложение функций из и умножение их на число удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства, то совокупность функций с интегрируемым квадратом образует линейное пространство.

Положив

,

определим в скалярное произведение.

Нетрудно убедиться в том, что все требования, входящие в определе-ние скалярного произведения выполняются.

О п р е д е л е н и е 3. Евклидовым пространством называется линейное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой

.

Заметим, что выполнено неравенство Коши – Буняковского

и неравенство треугольника

.

В частности, при и неравенство Коши – Буняковского имеет вид:

(1)

Норма в определяется формулой

,

а расстояние между элементами и формулой

.

Величину

называют средним квадратичным уклонением функций и друг от друга.

Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства называют сходимостью в среднем квадратичном, т.е. , если .

Т е о р е м а 2. Пространство при полно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фундаментальная последователь-ность в , т.е.

при .

Тогда в силу оценки (1) получаем

, (2)

т.е. последовательность фундаментальна и в метрике пространства . Рассуждая аналогично тому, как это было сделано при доказательстве полноты пространства , выберем из подпоследовательность , сходящуюся почти всюду к некоторой функции . В неравенстве

,

которое выполняется для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших и , можно, используя теорему Фату, перейти к пределу при .Тогда получим

.

Из этого неравенства следует, что и что . Если фундамен-тальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу.

З а м е ч а н и е. Теорема о полноте пространства остается справед-ливой и при .

Установим связь введенной выше сходимости в среднем квадратичном с другими типами сходимостей.

Будем полагать, что .

1. Если последовательность функций из сходится в метри-ке , то она сходится и в метрике .

Действительно, в силу неравенства (2) имеем

,

откуда и следует утверждение.

2. Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем квадратичном.

Действительно, при каждом при всех достаточно больших имеем

и, следовательно,

,

откуда вытекает наше утверждение.

3. Если последовательность суммируемых функций сходится в среднем, то она сходится на и по мере.

Доказательство сразу следует из неравенства Чебышева

для любого .

Пространство измеримых функций , интегрируемых с степенью на , являющихся обобщением пространств и , рассмотрены [2].