4.3 Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта.
Оценка точности выполняется для любых величин или функций. Один их способов оценки - это определение доверительных интервалов или предельных границ величин. В геодезии наиболее популярный метод наименьших квадратов. Но он предложен для работы с метрической системой и в фазовом пространстве его применение затруднено. Оценка точности выражается в количественных показателях, фазовое пространство определяется безразмерными величинами М и α. В связи с этим для оценки точности функции фазовой траектории необходимо определить предельные границы этой функции. Предельные границы информируют о предельных возможных состояниях объекта, выход за которые будут интерпретировать состояния объекта как неустойчивое. В рамках предельных границ состояние объекта определяется как состояние равновесия.
Необходимо оценить фазовую траекторию относительно точности геодезических измерений объекта в целом.
Выполним оценку точности – «устойчивости» состояния всего сооружения.
Обычно
предполагают, что ошибки исходных данных
распределены по нормальному закону с
нулевым математическим ожиданием и
дисперсией
.
При этих предположениях для оценки
точности можно применить метод Монте-Карло
и, выполнив достаточное число опытов,
оценить точность моделирования
вертикальных движений сооружения. Более
простой, но менее надёжный путь оценки
точности состоит в применении известных
методов теории ошибок. Основной недостаток
в этом случае состоит в необходимости
линеаризации оцениваемых функций. Чтобы
избежать принятия гипотез о функции
распределения ошибок и необходимости
линеаризации оцениваемых функций,
используем метод имитационного
моделирования для оценки точности
результатов моделирования, полагая,
что нам известна предельная абсолютная
погрешность
определения исходных данных, связанная
со средней квадратической погрешностью
выражением
[3].
Для этого положим, что
,
(10)
где
– вектор ошибок исходных данных;
– вектор
ошибок результатов моделирования.
Следовательно,
,
(11)
и
для выполнения оценки точности результатов
моделирования достаточно вычислить
вектор. Координаты векторов
,
,
,
заданы равными предельной погрешности
исходных данных:
- 0,001 ≤ ≤ +0,001;
- 0,015 ≤ ≤ +0,015; (12)
- 0,015 ≤ ≤ +0,015;
Задача
оценки точности результатов моделирования
сводится к определению предельных
значений фазовых координат
.
По данным, полученным из натурных геодезических измерений, было рассмотрено изменение пространственного состояния объекта. Всего было выполнено 14 циклов наблюдений.
Полагая
предельную погрешность исходных данных
равной
можно определить векторы
и
значений левой и правой границ интервалов
в пределах, в которых должны находиться
значения исходных данных
,
(13)
.
По формуле (13) вычислены значения левой и правой границ фазовых координат µ(t) и α(t).
Таблица 7. Расчет предельных значений фазовых координат µ(t) и α(t) для Н
дата |
µа(t)(у.е) |
µ(t)(у.е) |
µв(t)(у.е) |
Ι µв-µа Ι |
Ι µi-µо Ι |
S(t) |
αа(t)(у.е) |
α(t)(у.е) |
αв(t)(у.е) |
Ι αв-αа Ι |
Ι αi-αо Ι |
0,000 |
101,2639 |
101,2466 |
101,2292 |
0,034641 |
0,000000 |
+ |
0,00000000000 |
0,00000000000 |
0,00000000000 |
0,00000000000 |
0,00000000000 |
0,160 |
101,2637 |
101,2464 |
101,2291 |
0,034641 |
0,000173 |
+ |
0,00002296909 |
0,00002297303 |
0,00002297696 |
0,00000000786 |
0,00002297303 |
1,070 |
101,2654 |
101,2480 |
101,2307 |
0,034641 |
0,001645 |
+ |
0,00002239400 |
0,00002239783 |
0,00002240166 |
0,00000000767 |
0,00002239783 |
1,140 |
101,2656 |
101,2483 |
101,2310 |
0,034641 |
0,000231 |
+ |
0,00002798180 |
0,00002798659 |
0,00002799137 |
0,00000000957 |
0,00002798659 |
2,160 |
101,2658 |
101,2484 |
101,2311 |
0,034641 |
0,000173 |
+ |
0,00002815592 |
0,00002816075 |
0,00002816556 |
0,00000000964 |
0,00002816075 |
3,200 |
101,2658 |
101,2485 |
101,2312 |
0,034641 |
0,000029 |
+ |
0,00002822663 |
0,00002823147 |
0,00002823630 |
0,00000000967 |
0,00002823147 |
3,300 |
101,2645 |
101,2471 |
101,2298 |
0,034641 |
0,001328 |
+ |
0,00002235953 |
0,00002236337 |
0,00002236719 |
0,00000000766 |
0,00002236337 |
4,190 |
101,2646 |
101,2473 |
101,2300 |
0,034641 |
0,000144 |
+ |
0,00001526413 |
0,00001526675 |
0,00001526936 |
0,00000000524 |
0,00001526675 |
5,080 |
101,2645 |
101,2472 |
101,2299 |
0,034641 |
0,000087 |
+ |
0,00001515997 |
0,00001516256 |
0,00001516513 |
0,00000000516 |
0,00001516256 |
6,190 |
101,2667 |
101,2494 |
101,2321 |
0,034641 |
0,002194 |
+ |
0,00002689384 |
0,00002689844 |
0,00002690306 |
0,00000000921 |
0,00002689844 |
6,290 |
101,2656 |
101,2482 |
101,2309 |
0,034641 |
0,001155 |
+ |
0,00002764452 |
0,00002764924 |
0,00002765398 |
0,00000000946 |
0,00002764924 |
8,080 |
101,2667 |
101,2494 |
101,2321 |
0,034641 |
0,001155 |
+ |
0,00002615834 |
0,00002616281 |
0,00002616729 |
0,00000000895 |
0,00002616281 |
9,180 |
101,2665 |
101,2492 |
101,2319 |
0,034641 |
0,000173 |
+ |
0,00002691140 |
0,00002691600 |
0,00002692061 |
0,00000000921 |
0,00002691600 |
10,140 |
101,2662 |
101,2489 |
101,2316 |
0,034641 |
0,000346 |
- |
0,00002487774 |
0,00002488199 |
0,00002488626 |
0,00000000852 |
0,00002488199 |
На основании данных таблицы №7 построен
график предельных значений фазовых координат
µ и α для Н (рисунок 10)
Рисунок 10. График предельных значений фазовых координат µ и α для Н
дата |
µа(t)(у.е) |
µ(t)(у.е) |
µв(t)(у.е) |
Ι µв-µа Ι |
Ι µi-µо Ι |
S(t) |
αа(t)(у.е) |
α(t)(у.е) |
αв(t)(у.е) |
Ι αв-αа Ι |
Ι αi-αо Ι |
0,000 |
119,6218 |
119,4990 |
119,3761 |
0,245692 |
0,000000 |
+ |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,160 |
119,7215 |
119,5987 |
119,4758 |
0,245747 |
0,099701 |
+ |
0,0005560008 |
0,0005569104 |
0,0005578225 |
0,0000018217 |
0,0005569104 |
1,070 |
119,6955 |
119,5726 |
119,4497 |
0,245708 |
0,026075 |
+ |
0,0003219410 |
0,0003223993 |
0,0003228590 |
0,0000009181 |
0,0003223993 |
1,140 |
119,6952 |
119,5724 |
119,4495 |
0,245740 |
0,000227 |
+ |
0,0005423807 |
0,0005431644 |
0,0005439501 |
0,0000015694 |
0,0005431644 |
2,160 |
119,6819 |
119,5590 |
119,4361 |
0,245735 |
0,013362 |
- |
0,0005698522 |
0,0005705946 |
0,0005713386 |
0,0000014865 |
0,0005705946 |
3,200 |
119,6726 |
119,5497 |
119,4269 |
0,245736 |
0,009289 |
+ |
0,0004168497 |
0,0004174635 |
0,0004180789 |
0,0000012292 |
0,0004174635 |
3,300 |
119,6828 |
119,5600 |
119,4371 |
0,245722 |
0,010256 |
+ |
0,0004290793 |
0,0004296653 |
0,0004302528 |
0,0000011735 |
0,0004296653 |
4,190 |
119,6940 |
119,5711 |
119,4482 |
0,245741 |
0,011131 |
+ |
0,0005253154 |
0,0005260878 |
0,0005268621 |
0,0000015467 |
0,0005260878 |
5,080 |
119,6843 |
119,5614 |
119,4386 |
0,245737 |
0,009685 |
+ |
0,0005524337 |
0,0005531764 |
0,0005539209 |
0,0000014872 |
0,0005531764 |
6,190 |
119,6853 |
119,5624 |
119,4395 |
0,245752 |
0,000971 |
+ |
0,0006127277 |
0,0006135709 |
0,0006144161 |
0,0000016884 |
0,0006135709 |
6,290 |
119,6791 |
119,5562 |
119,4333 |
0,245752 |
0,006197 |
+ |
0,0006041330 |
0,0006049516 |
0,0006057721 |
0,0000016391 |
0,0006049516 |
8,080 |
119,7204 |
119,5975 |
119,4746 |
0,245749 |
0,041313 |
+ |
0,0005851809 |
0,0005861139 |
0,0005870495 |
0,0000018687 |
0,0005861139 |
9,180 |
119,6961 |
119,5733 |
119,4504 |
0,245698 |
0,024225 |
+ |
0,0002971627 |
0,0002975192 |
0,0002978769 |
0,0000007142 |
0,0002975192 |
10,140 |
119,7754 |
119,6525 |
119,5297 |
0,245778 |
0,079273 |
- |
0,0006682719 |
0,0006696462 |
0,0006710243 |
0,0000027523 |
0,0006696462 |
Таблица 8. Расчет предельных значений фазовых координат µ(t) и α(t) для Х
На основании данных таблицы №8 построен
график предельных значений фазовых координат
µ и α для X (рисунок 11)
Рисунок 11. График предельных значений фазовых координат µ и α для Х
дата |
µа(у.е) |
µ(у.е) |
µв(у.е) |
Ι µв-µа Ι |
Ι µi-µо Ι |
S(t) |
αа(t)(у.е) |
α(у.е) |
αв(у.е) |
Ι αв-αа Ι |
Ι αi-αо Ι |
0,000 |
127,6893 |
127,5569 |
127,4244 |
0,26498 |
0 |
+ |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,0000000000 |
0,160 |
127,7565 |
127,624 |
127,4915 |
0,26501 |
0,067149 |
+ |
0,0005257955 |
0,0005264656 |
0,0005271374 |
0,0000013419 |
0,0005264656 |
1,070 |
127,7752 |
127,6427 |
127,5102 |
0,26500 |
0,018685 |
+ |
0,0004521696 |
0,0004527583 |
0,0004533484 |
0,0000011789 |
0,0004527583 |
1,140 |
127,8034 |
127,6709 |
127,5384 |
0,26500 |
0,028215 |
+ |
0,0005156094 |
0,0005162900 |
0,0005169725 |
0,0000013631 |
0,0005162900 |
2,160 |
127,7658 |
127,6333 |
127,5008 |
0,26500 |
0,037590 |
- |
0,0004696543 |
0,0004702444 |
0,0004708359 |
0,0000011816 |
0,0004702444 |
3,200 |
127,7773 |
127,6448 |
127,5123 |
0,26501 |
0,011447 |
+ |
0,0004287323 |
0,0004293579 |
0,0004299852 |
0,0000012529 |
0,0004293579 |
3,300 |
127,798 |
127,6655 |
127,533 |
0,26501 |
0,020760 |
+ |
0,0004985185 |
0,0004992414 |
0,0004999662 |
0,0000014477 |
0,0004992414 |
4,190 |
127,7767 |
127,6441 |
127,5117 |
0,26499 |
0,021368 |
+ |
0,0003354619 |
0,0003359043 |
0,0003363480 |
0,0000008861 |
0,0003359043 |
5,080 |
127,7742 |
127,6417 |
127,5092 |
0,26500 |
0,002467 |
+ |
0,0003953363 |
0,0003958829 |
0,0003964308 |
0,0000010945 |
0,0003958829 |
6,190 |
127,7578 |
127,6253 |
127,4928 |
0,26500 |
0,016348 |
+ |
0,0004865425 |
0,0004871348 |
0,0004877284 |
0,0000011858 |
0,0004871348 |
6,290 |
127,7706 |
127,6381 |
127,5056 |
0,26500 |
0,012810 |
+ |
0,0004190455 |
0,0004195989 |
0,0004201537 |
0,0000011081 |
0,0004195989 |
8,080 |
127,7903 |
127,6578 |
127,5253 |
0,26500 |
0,019655 |
+ |
0,0004411370 |
0,0004417428 |
0,0004423502 |
0,0000012131 |
0,0004417428 |
9,180 |
127,7634 |
127,6309 |
127,4984 |
0,26501 |
0,026900 |
+ |
0,0005387169 |
0,0005394050 |
0,0005400947 |
0,0000013778 |
0,0005394050 |
10,140 |
127,855 |
127,7225 |
127,59 |
0,26501 |
0,091574 |
- |
0,0003962881 |
0,0003971114 |
0,0003979371 |
0,0000016489 |
0,0003971114 |
Таблица 9. Расчет предельных значений фазовых координат µ(t) и α(t) для У
На основании данных таблицы №9 построен
график предельных значений фазовых координат
µ и α для Y (рисунок 12)
Рисунок 12. График предельных значений фазовых координат µ и α для У
,
(13)
.
По формуле (13) вычислены значения левой и правой гильбертовых координат Н,X,Y.
S(t)- сравнение значений Ιx/y/hв-x/y/hва Ι и Ι x/y/hвi-x/y/hвi-1 Ι для определения состояния объекта в данный момент времени.
Таблица 10.Определение предельных значений гильбертовых координат X
дата |
xа(t) |
x(t) |
xв(t) |
Ιxв-xа Ι |
Ι xi-xi-1 Ι |
S(t) |
0,000 |
119,6990 |
119,4990 |
119,2990 |
0,400000 |
0,000000 |
+ |
0,160 |
119,7987 |
119,5987 |
119,3987 |
0,400000 |
0,099701 |
+ |
1,070 |
119,7726 |
119,5726 |
119,3726 |
0,400000 |
0,026075 |
+ |
1,140 |
119,7724 |
119,5724 |
119,3724 |
0,400000 |
0,000227 |
+ |
2,160 |
119,7590 |
119,5590 |
119,3590 |
0,400000 |
0,013362 |
+ |
3,200 |
119,7497 |
119,5497 |
119,3497 |
0,400000 |
0,009289 |
+ |
3,300 |
119,7600 |
119,5600 |
119,3600 |
0,400000 |
0,010256 |
+ |
4,190 |
119,7711 |
119,5711 |
119,3711 |
0,400000 |
0,011131 |
+ |
5,080 |
119,7614 |
119,5614 |
119,3614 |
0,400000 |
0,009685 |
+ |
6,190 |
119,7624 |
119,5624 |
119,3624 |
0,400000 |
0,000971 |
+ |
6,290 |
119,7562 |
119,5562 |
119,3562 |
0,400000 |
0,006197 |
+ |
8,080 |
119,7975 |
119,5975 |
119,3975 |
0,400000 |
0,041313 |
+ |
9,180 |
119,7733 |
119,5733 |
119,3733 |
0,400000 |
0,024225 |
+ |
10,140 |
119,6725 |
119,6525 |
119,6325 |
0,040000 |
0,079273 |
- |
Таблица 11.Определение предельных значений гильбертовых координат У.
дата |
yа(t) |
y(t) |
yв(t) |
Ι yв-yа Ι |
Ι yi-yi-1 Ι |
S(t) |
0,000 |
127,7569 |
127,5569 |
127,3569 |
0,400000 |
0,000000 |
+ |
0,160 |
127,8240 |
127,6240 |
127,4240 |
0,400000 |
0,067149 |
+ |
1,070 |
127,8427 |
127,6427 |
127,4427 |
0,400000 |
0,085834 |
+ |
1,140 |
127,8709 |
127,6709 |
127,4709 |
0,400000 |
0,114049 |
+ |
2,160 |
127,8333 |
127,6333 |
127,4333 |
0,400000 |
0,076458 |
+ |
3,200 |
127,8448 |
127,6448 |
127,4448 |
0,400000 |
0,087906 |
+ |
3,300 |
127,8655 |
127,6655 |
127,4655 |
0,400000 |
0,108666 |
+ |
4,190 |
127,8441 |
127,6441 |
127,4441 |
0,400000 |
0,087298 |
+ |
5,080 |
127,8417 |
127,6417 |
127,4417 |
0,400000 |
0,084831 |
+ |
6,190 |
127,8253 |
127,6253 |
127,4253 |
0,400000 |
0,068483 |
+ |
6,290 |
127,8381 |
127,6381 |
127,4381 |
0,400000 |
0,081293 |
+ |
8,080 |
127,8578 |
127,6578 |
127,4578 |
0,400000 |
0,100948 |
+ |
9,180 |
127,8309 |
127,6309 |
127,4309 |
0,400000 |
0,074048 |
+ |
10,140 |
127,7425 |
127,7225 |
127,7025 |
0,040000 |
0,165623 |
- |
Таблица 12.Определение предельных значений гильбертовых координат H
дата |
hа |
h |
hв |
Ιhв-hа Ι |
Ι hi-hо Ι |
S(t) |
0,000 |
101,249070 |
101,246570 |
101,244070 |
0,005 |
0 |
+ |
0,160 |
101,248896 |
101,246396 |
101,243896 |
0,005 |
0,000173 |
+ |
1,070 |
101,250542 |
101,248042 |
101,245542 |
0,005 |
0,001472 |
+ |
1,140 |
101,250773 |
101,248273 |
101,245773 |
0,005 |
0,001703 |
+ |
2,160 |
101,250946 |
101,248446 |
101,245946 |
0,005 |
0,001876 |
+ |
3,200 |
101,250975 |
101,248475 |
101,245975 |
0,005 |
0,001905 |
+ |
3,300 |
101,249647 |
101,247147 |
101,244647 |
0,005 |
0,000577 |
+ |
4,190 |
101,249791 |
101,247291 |
101,244791 |
0,005 |
0,000722 |
+ |
5,080 |
101,249705 |
101,247205 |
101,244705 |
0,005 |
0,000635 |
+ |
6,190 |
101,251899 |
101,249399 |
101,246899 |
0,005 |
0,002829 |
+ |
6,290 |
101,250744 |
101,248244 |
101,245744 |
0,005 |
0,001674 |
+ |
8,080 |
101,251899 |
101,249399 |
101,246899 |
0,005 |
0,002829 |
+ |
9,180 |
101,251725 |
101,249225 |
101,246725 |
0,005 |
0,002656 |
+ |
10,140 |
101,251379 |
101,248879 |
101,246379 |
0,005 |
0,002309 |
+ |
По данным полученным в таблицах №№ 10,11,12 построен график предельных значений функции пространственно-временного состояния в гильбертовом пространстве (рисунок 13).
H (м)
Х (м)
У (м)
№п/п |
Дата |
µ(у.е)Х |
µ(у.е)У |
µ(у.е)H |
Х (м) |
У (м) |
H (м) |
1 |
0,000 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
2 |
0,160 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
3 |
1,070 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
4 |
1,140 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
5 |
2,160 |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
6 |
3,200 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
7 |
3,300 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
8 |
4,190 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
9 |
5,080 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
10 |
6,190 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
11 |
6,290 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
12 |
8,080 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
12 |
9,180 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
14 |
10,140 |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
Таблица 13. Устойчивость положений объекта в фазовом и гильбертовом пространствах.
Вывод: Полученные результаты свидетельствуют о том, что:
- значения фазовых координат Х превысили предельные значения в моменты времени t4и t14, Y - в момент времени t4,t14,H- в момент времени t14. Значения гильбертовых координат Х,У в момент времени t14 так же превышает предельные значения. Из этого следует, что. объект в данные периоды выходит из устойчивого состояния. Во все другие моменты времени его состояние устойчиво.
Следовательно, состояние системы в целом можно считать устойчивым. Для подтверждения этого вывода необходимо выполнить оценку точности результатов моделирования.