Равномерная сходимость функционального ряда
Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.
Функциональная последовательность fn(x) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х, если
Замечание
1. Будем обозначать обычную сходимость
функциональной последовательности
а равномерную сходимость -
.
Замечание
2. Отметим
еще раз принципиальное отличие равномерной
сходимости от обычной: в случае обычной
сходимости при выбранном значении ε
для каждого
существует
свой номер
N,
для которого
при n
> N
выполняется неравенство:
При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер N, обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х, невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N, общий для всех х, существует.
Признак Вейерштрасса
Теорема 1. Если числовой ряд
сходится и для
всех
и для всех п
= 1, 2,…
выполняется неравенство
то
ряд
сходится абсолютно и равномерно на
множестве Х.
Теорема 3. Пусть
функции un(x)
непрерывны
на отрезке [a,
b]
и ряд
равномерно сходится на этом отрезке.
Тогда
ряд
тоже равномерно сходится на [a, b] и
Теорема 4. Пусть функции un(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из их производных:
равномерно сходится
на [a,
b].
Тогда, если ряд
сходится хотя бы в одной точке
то он сходится равномерно на всем [a,
b],
его сумма
является непрерывно дифференцируемой функцией и
(ряд можно почленно дифференцировать).
Примеры решения задач
Задача 1. Найти область сходимости функционального ряда
Указание
Примените признак Даламбера и найдите значения х, удовлетворяющие неравенству
Решение
Применим признак Даламбера:
При найденных значениях х ряд сходится, при х, не принадлежащих отрезку [0,5;2], ряд расходится, так как предел по Даламберу больше 1. Осталось исследовать сходимость ряда при х = 0,5 и х = 2, когда признак Даламбера неприменим.
расходится, так
как для него не выполнено необходимое
условие сходимости.
При х = 2 log22 = 1, и полученный ряд расходится по той же причине. Следовательно, область сходимости – (0,5;2).
Ответ: (0,5;2).
Задача 2. Найти область сходимости функционального ряда
Указание
Рассмотрите отдельно случаи x > 1 и x < 1.
Решение
При x
> 1 ряд
сходится.
исходный ряд
сходится по 2-му признаку сравнения.
При х < 1 ряд расходится, следовательно, по 1-му признаку сравнения расходится и исходный ряд.
Ответ:
(1;
).
Задача 3. Найти область сходимости функционального ряда
Указание
Рассмотрите отдельно случаи |x| > 1, |х| = 1 и |x| < 1.
Решение
При |x|
> 1 ряд
сходится (в частности, при x
< -1 сходится абсолютно), так как
представляет собой сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
При х = 1 все члены ряда равны 1, то есть не выполнено необходимое условие сходимости – ряд расходится.
При х = -1 члены ряда с нечетными номерами равны 3, а члены с четными номерами равны 1, и ряд вновь расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.
При |x| < 1
ряд расходится.
Ответ:
(
;-1)U(1;
).
Задача 4. Найти область сходимости функционального ряда
