3. Функция Бакли-Леверетта. Расчет непоршневого вытеснения нефти водой.
Известны модели:
поршневого вытеснения нефти водой со скачком насыщенности на фронте насыщения;
непоршневого вытеснения нефти водой (модель промывки) с плавным изменением насыщенности в зоне промывки.
Рассмотрим модели процесса вытеснения нефти водой (газом).
Модель поршневого
вытеснения.
Предполагается движущийся в пласте
вертикальный фронт (границы), впереди
которого нефтенасыщенность равна
начальной (
),
а позади остается промытая зона с
остаточной нефтенасыщенностью . На
рис. 1 схематически показан профиль
насыщенности при фиксированном положении
фронта
.
Перед фронтом фильтруется только нефть,
а позади — только вода.
Рис. 1 —Профиль насыщенности при фиксированном положении фронта .
1 — водой; 2 — нефтью
В соответствии с этой моделью полное обводнение продукции скважин должно произойти мгновенно в момент подхода фронта вытеснения к скважинам.
Модель непоршневого вытеснения (рис. 2). По схеме Бэкли - Леверетта предполагается в пласте движущийся фронт вытеснения.
Функция Баклея-Леверетта:
Скачок
нефтенасыщенности на нем значительно
меньше, чем при поршневом вытеснении.
Перед фронтом вытеснения движется
только нефть, позади него — одновременно
нефть и вода со скоростями, пропорциональными
соответствующим фазовым проницаемостям.
Причем по мере продвижения фронта
вытеснения скорости изменяются не
только в зависимости от насыщенности
в пласте, но и во времени. В момент
подхода фронта к скважине происходит
мгновенное обводнение до некоторого
значения, соответствующего скачку
нефтенасыщенности на фронте
,
а затем обводненность медленно нарастает.
Рис. 2 — Модель непоршневого вытеснения
Задача Баклея - Леверетта и ее обобщения
Основой для расчета (построения) функции Баклея-Леверетта являются фактические кривые фазовых относительных проницаемостей, полученные при физическом моделировании процессов вытеснения нефти водой (обычно на кернах конкретных пластов).
В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание.
Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея - Леверетта.
В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея - Леверетта или функцией распределения потоков фаз f(s), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея - Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения газоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f(s) в направлении увеличения полноты вытеснения.
Рис. 3. Вид функции Баклея-Леверетта и её производной
Вид кривых функции f(s) и ее производной f/(s) показан на рис.3. С ростом насыщенности f(s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f(s) является наличие точки перегиба sп , участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f’’(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея - Леверетта.
Рис. 4. Графики функции Баклея - Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости m0
Зависимость функций f(s) и f’(s) от отношения вязкостей фаз m0=m1/ m2 показана рис. 4. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f(s) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу.
Рис. 5. Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка
Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея – Леверетта является зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности. Это явление называется дисперсией волн. При 0 < s < sп большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при sп< s < 1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться. Последнее приводит к тому, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности оказывается многозначным (рис. 5, кривая 1-2-3-4-5). В области данного участка одному и тому же значению х соответствуют три значения насыщенности s: s1, s2 и s3, что физически невозможно, так как в каждом сечении пласта в любой момент времени может существовать только одна насыщенность. Данная неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности (рис. 5, отрезок 1-3-5). Скорость распространения скачка при этом равна скорости распространения насыщенности. Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая “переходная зона” вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно.
Точные решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой применяются при оценочных инженерных расчетах параметров разработки с использованием процесса заводнения.
В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.