Глава 3. Математическое обеспечение сапр (методы многовариантного анализа)

Вопросы математического обеспечения представляют центральную и наиболее сложную часть автоматизации проектирования. Необходимость современных подходов к проектированию потребовало как расширения сферы использования и развития традиционных разделов математики, так и разработку новых, ориентированных на реализацию с помощью средств современной вычислительной техники. Все основные этапы в САПР- анализ, синтез и изготовление технической документации связаны с использованием современных математических методов.

Математическое обеспечение САПР имеет иерархическую структуру и в определённой степени соответствует иерархии задач проектирования сложных технических систем.

Можно выделить два уровня математического обеспечения САПР по аналогии с двумя уровнями (универсальным и специализированным) различных видов обеспечения САПР. Нижний уровень средств математического обеспечения отражает специфику предметной области и используется при анализе разрабатываемых технических систем. Так при расчёте электронных схем основу математического обеспечения определяют законы теории электрических цепей - это законы Ома, Кирхгофа, а так же теория графов и ряд традиционных разделом математики, дифференциальные уравнения, линейная алгебра и т.п. Если говорить о САПР ЭФУ, то здесь основной аппарат управления Максвелла, законы релятивистской механики, разнообразные дифференциальные и интегральные уравнения и т.п. Естественно, что каждый из перечисленных фундаментальных законов физики и математических методов их реализации имеет свои специфические особенности для различных предметных областей, которые и отражаются в особенностях математического обеспечения САПР этих областей. Именно этим особенностям и будет посвящена вторая часть этого учебного пособия – методическое обеспечение САПР ЭФУ.

Однако наряду с вышеуказанным имеется ряд математических методов, которые используются на верхних уровнях иерархии и имеющих достаточно универсальный характер. К таким методам прежде всего относятся методы, применяемые для решения задач синтеза - различные разделы математического программирования, вычислительная геометрия и геометрическое моделирование и т.п.

При анализе технических объектов достаточно универсальными являются методы многовариантного анализа - статистический анализ (метод Монте-Карло). Этот вид анализа определяется как имитационное моделирование.

Эти методы и будут рассмотрены в настоящей главе, но вначале следует определиться с понятиями модели и моделирования, основополагающими понятиями САПР.

3.1. О моделях и моделировании

Под моделью принято понимать такой материальный или абстрактный объект, который в процессе изучения заменяет объект оригинал, сохраняя важнейшие типичные его черты.

Что касается моделирования, то современные словари дают следующее определение этому термину: «моделирование- исследование каких-либо явлений, процессов или систем путём построения и изучения их моделей, использование этих моделей для определения или уточнения характеристик или рационализации способов вновь конструируемых объектов». А если совсем коротко, то построение модели и исследование объектов на их моделях называется моделированием.

С незапамятных времен при изучении сложных процессов, явлений, конструирования новых сооружений человек применяет модели. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект.

Существует несколько приёмов моделирования, которые можно условно объединить в две большие подгруппы: материальное (предметное) и идеальное (абстрактное) моделирование.

К материальному относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта.

Основными разновидностями материального моделирования является физическое и аналоговое моделирование.

Физическим моделированием принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последовательного перенесения свойств изучаемых процессов и явлений на объект на основе использования теории размерности физических величин и теории подобия.

Физическое моделирование широко используется в науке и технике как способ разработки и экспериментального изучения на моделях разнообразных механизмов, самолетов (в аэродинамической трубе), судов, тепловых установок и т.п. Этот вид моделирования применяется и при разработки установок в электрофизике. Так, при проектировании 20-ти километрового протонного синхротрона в Протвино, в Радиотехническом институте была создана его уменьшенная (100 метровая) копия, на которой применялись элементы конструкции разрабатываемой установки.

Преимущества физического моделирования перед натурным экспериментом заключается в том, что условия реализации процесса-модели могут значительно отличаться от условий, свойственных оригиналу и их выбирают из удобства и простоты исследования.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями). Наиболее простой пример изучение механических колебаний с помощью электрической схемы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Электрическое моделирование лежит в основе работы машин непрерывного действия - так называемых аналоговых или моделирующих машин (например, дифференциального анализатора, электрического анализатора и др.). Моделью какого-либо процесса при таком «машинном моделировании» можно, очевидно, с равным основанием называть как программу этого процесса, так и саму машину. В 60^х годах прошлого века на кафедре ЭФУ МИФИ для исследования динамики частиц в линейных ускорителях использовалась аналоговая машина γ (гамма). Однако справедливости ради следует отметить, что этот вид моделирования для подобных задач в современных условиях полностью вытеснен цифровым компьютерным моделированием, обладающим гораздо большей точностью и достаточно высоким быстродействием (основное достоинство аналоговой машины). По этим же причинам утратили актуальность и так называемые гибридные вычислительные системы - объединение аналоговых и цифровых машин.

Необходимо отметить, что в обоих типах материального моделирования (физического и аналогового) модели являлись материальным отражением исходного объекта и были связаны с ними своими геометрическими, физическими и другими характеристиками, причем процесс исследования был тесно связан с материальным воздействием на модель, т.е. состоял в натурном эксперименте с ней. Таким образом, предметное моделирование по своей природе является экспериментальным.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное (абстрактное), которое основано не на материальной, а на идеальной аналогии, мыслимой. Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два вида идеального моделирования: интуитивное и знаковое.

Под интуитивным моделированием понимается моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающимся формализации, либо не нуждающимся в ней. В этом смысле жизненный опыт каждого человека может считаться его индивидуальной моделью окружающего мира. Этот вид моделирования особенно развит у музыкантов, учёных, шахматистов.

Знаковым называют моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.п., а так же включающее набор знаков, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, и использованием тех или иных математических методов. Классическим примером математического моделирования является описание и исследование законов механики И. Ньютона средствами математики.

3.2. Математическое моделирование.

Математическое моделирование есть приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира с помощью математических моделей, под которой понимается совокупность математических объектов (чисел, символов, переменных, векторов, множеств и т.п.) и отношений между ними, которые адекватно отображают основные свойства проектируемых объектов.

В общем виде математическая модель может быть представлена в виде зависимости (далеко не всегда функциональной):

X=F(X,Q)

где Y- вектор выходных параметров;

X-вектор входных (внутренних) параметров (параметров элементов);

Q- вектор внешних параметров.

Даже если существует функция F(X,Q), это ещё не означает, что она известна проектировщику. В большинстве случаев связь между внутренними (входными) параметрами и внешними (выходными) параметрами задается в алгоритмической форме, например через численное решение системы уравнений для некоторых параметров, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше параметрам (выходным, внутренним и внешним). Они называются фазовыми переменными (как бы промежуточные параметры). Вектор фазовых переменных задаёт точку в пространстве, называемым фазовым. Фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы энергии в элементах системы именуют переменными состояния. Выходные параметры при таком подходе имеют смысл функционалов, зависимостей фазовых переменных от времени (фазовые переменные возникают только при анализе моделей).

В зависимости от характера отображаемых свойств проектируемого объекта модели можно разделить на структурные (связанные, прежде всего с геометрическим моделированием) и функциональные. Структурные модели отображают только структурные (в частном случае геометрические) свойства объекта. Структурные модели обычно используются в случаях, когда задачи структурного анализа удается ставить и решать, абстрагируясь от особенностей физического процесса в объекте.

Наибольшую группу представляют так называемые функциональные модели. Они, в основном, ориентированны на методы анализа. Традиционными и давно разрабатываемыми являются теоретические. Их получают на основе изучения физических закономерностей, структура уравнений и параметры моделей определяют физическим толкованием. Они основаны, как правило, на функциональных физических законах. Так, например, методы математической физики включают те уравнения, которые применяются для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений. Теоретические модели по своей структуре разделяют на линейные и нелинейные (в зависимости от линейности или нелинейности входящих в них уравнений), непрерывные или дискретные (в зависимости от непрерывности или конечной счётности их решений), динамические или статические (имеется или нет зависимость от времени).

К сожалению, не всегда условия применимости моделей и методов могут быть найдены и исследованы строгими методами.

Часто применимость того или иного компонента математического обеспечения зависит от конкретных условий, многообразие которых не поддаётся исчерпывающему учёту и классификации.

Особый класс математических функциональных моделей составляют так называемые имитационные, которые иногда называются формальными или даже эвристическими. Развитие этого направления моделирования связанно с разработкой сложных технических систем и ограничениями традиционных теоретических моделей. Эти модели получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, модель типа «чёрный ящик».

Ниже об этих моделях будет сказано более подробно.

В соответствии с иерархической структурой сложных технических систем (элемент, подсистема, система) математические модели разделяются на три уровня: низшего (микро), среднего (макро) и высшего.

На низшем уровне, называемом так же уровнем проектирования базовых элементов или микроуровне, математические модели должны отражать процессы, протекающие, в общем случае, в трехмерной сплошной среде. Они представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных и часто называются распределёнными моделями. Они основаны на известных фундаментальных физических законах (уравнения Ламе для механики упругих сред, Навье-Стокса для гидравлики, уравнения теплопроводности- термодинамики, уравнения Максвелла- электромагнитные поля). В качестве фазовых переменных в этих уравнениях выступают напряжённости полей и плотности потоков. Точное решение этих уравнений (аналитическое) удаётся получить лишь для ограниченного числа частных случаев, поэтому основная задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближённой дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей, конечных элементов или интегральных граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аппроксимирующая система алгебраических уравнений имеет очень высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и переходить к моделированию на среднем (макро) уровне.

Элементами этого уровня являются объекты, которые на микроуровне рассматриваются как системы. Математические модели на данном уровне представляют обыкновенные дифференциальные уравнения, в частных случаях статических задач они превращаются в алгебраические и трансцедентные уравнения. В качестве фазовых переменных выступают токи и напряжения в электрической системе (вместо плотности тока и напряженности полей), в механической системе аналогами этих переменных являются силы и скорости, в гидравлической системе массовые расходы и давление, а в тепловых - тепловые потоки и температура.

Математическую модель системы на этом уровне получают объединением компонентных и топологических уравнений.

Законы функционирования элемента подсистемы задаются компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разнообразные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу.

Компонентные уравнения могут быть линейными или нелинейными, алгебраическими, обыкновенными дифференциальными уравнениями или интегральными.

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к различным элементам подсистемы, задается топологическими уравнениями, получаемыми на основании сведений о структуре системы.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов (компонент):

Элемент типа R- элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую (электрические сопротивления) трения в механических системах, вязкость в жидкостях и газах и т.п.

Элемент C и L, в которых происходит накопление потенциальной и кинетической энергии.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

Так, например, для электрической подсистемы фазовыми переменными являются токи I и напряжения U, а компонентные уравнения для простейших элементов выглядят следующим образом:

Для сопротивления (законы Ома) I=U/R;

Для ёмкости I=C(dU/dt), где С-электрическая ёмкость;

Для индуктивности U=L(dI/dt), где L-электрическая индуктивность.

Топологические уравнения в большинстве случаев базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Так, для электрической подсистеме связь между отдельными элементами этой подсистемы устанавливается на основании законов Кирхгоффа.

Уравнения первого закона Кирхгоффа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах системы, т.е. (уравнения равновесия), где I_k ток в к-ой ветви; p- множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгоффа видно, что сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равна нулю, т.е. (уравнение непрерывности), где j-номер ветви; U_j- падение напряжения на j-й ветви схемы, входящей в контур; q- множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Аналогичные компонентные и топологические уравнения можно привести и для механических, гидравлических (пневматических) и тепловых систем.

Модели высшего уровня или модели технических систем, которые так же называют информационными, применяемые для сложных устройств и комплексов (вычислительные комплексы, радиолокационные станции, ускорительные комплексы и т.п.), функционирование которых рассматривается как цепь событий, происходящих в дискретные моменты времени и заключающихся в изменении состояний элементов.

Для построения математических моделей высшего уровня широко используют математическую логику, теорию массового обслуживания, методы теории автоматического управления, теорию графов и т.п. Очень широкое применение на этом уровне имеет упоминавшееся ранее имитационное моделирование, что представляет собой дословный перевод английского выражения «Simulatiom modeling». Как легко убедиться, перевод сделан не слишком хорошо, так как в нем содержится тавтология(любое моделирование- есть имитация). Однако этот термин в отечественной практике так широко распространился, что хоть он и неудачен, но маловероятно, что он претерпит изменение.

Суть метода имитационного моделирования состоит в том, что процесс функционирования сложной системы представляется в виде определенного алгоритма, который и реализуется на ЭВМ. По результатам реализации могут быть сделаны те или иные выводы относительно исходного процесса.

Наряду с широко используемыми, традиционными методами математического моделирования (теоретическими) большая роль при проектировании отводится и этому виду, причём его появление, как указывалось выше, связанно с возрастающими сложностями объектов, процессов, явлений, ввиду отсутствия в настоящее время математического аппарата, пригодного для исследования. Кроме того, реальные системы подвержены влиянию различных случайных факторов. Учёт этих факторов аналитическим путём представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые при большом их числе. Этот вид моделирования реализуется на компьютере и отображает внутренние и внешние взаимосвязи моделируемого сложного объекта.

Имитационное моделирование можно трактовать как результат объединения двух подходов: дедуктивного и индуктивного. Дедуктивный подход или подход «сверху вниз» предполагает определение структуры модели на основе знания физических законов (традиционные теоретические модели), которым подчиняются происходящие в системе процессы и построение системы с последующим уточнением параметров. Индуктивный же подход, или подход «снизу вверх» оперирует с экспериментальными данными типа «вход-выход» не используя знания внутренних свойств системы. Типичным примером такого подхода служит экспериментирование с моделью на основе метода Монте-Карло (который рассматривается ниже). При этом имитационное моделирование представляет собой численный эксперимент сродни физическому эксперименту. В ходе эксперимента варьируются экзогенные (внешние) параметры модели, результаты представляются в статистическом смысле, что неизбежно при работе со сложной системой. Основные свойства системы и состояние её параметров определяются на основе длительного наблюдения и набора соответствующих статистических закономерностей.

Поскольку статистическое моделирование является одним из основных приемов имитационного моделирования, носит универсальный характер (его идея очень проста и независима от приложений), широко применяется в техники и физики ниже будет более подробно рассмотрена его методика.

Немного о требованиях, предъявляемых к математическим моделям. Среди общих требований, которые не зависят от типа моделей и вида моделирования, следует отметить следующие:

Точность математической модели - свойство, определяющее степень совпадения предсказанных с помощью модели выходных параметров объекта с истинными значениями этих параметров. Количественная оценка точности затруднена по следующим причинам:

-Реальная модель, как правило, обладает множеством выходных параметров. Поэтому возникает необходимость сведения вектора параметров к скалярному представлению с помощью не всегда достаточно обоснованных методов;

- Модель составляется, как правило, для многократного использования, при анализе различных вариантов объекта. Однако характер проявления тех или иных свойств объекта зависит от особенностей взаимодействия с внешней средой и другими объектами.

- Истинное значение (которое предполагается заранее известным) обычно отождествляется с экспериментом, однако погрешность экспериментов может оказаться соизмеримой с погрешностями модели, а часто и превышает их.

Экономичность - отождествляется прежде всего затратами машинного времени при реализации на компьютере. Несмотря на постоянный рост современных вычислительных систем, потребность задач (в том числе и проектных) так же возрастает, зачастую превышая возможности машин, в связи с этим разработчикам приходится заботится об экономичности алгоритмов.

Степень универсальности модели связана с тем, что разработка модели и её адаптация к вычислительной среде достаточно длительный и дорогостоящий процесс, поэтому расширение сферы приложения модели повышает эффективность разработки и снижает стоимость разработанного программного продукта.

Требования точности, универсальности и экономичности модели достаточно противоречивы и требуют принятия оптимальных решений в каждом конкретном случае.

Кроме перечисленных, существует ряд специфических требований к математическим моделям различных типов. Так, например, требования к традиционным теоретическим моделям определены в курсах вычислительной математики (это корректность, устойчивость, сходимость, обусловленность и т.п.) где с ними можно подробно ознакомиться.