§ 3. Длина вектора

Определение 1. Длиной (модулем) вектора в евклидовом пространстве называют корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя и обозначают , так что

(3.4)

Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нулевого вектора длина равна нулю, у всякого другого – положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор умножить на число , то вектор , имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для множества свободных векторов введенное определение длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора

имеет вид

.

§ 4. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов и не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство

(3.5)

Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для доказательства неравенства (3.5) заметим, что в согласии с условием 4 определения евклидова пространства, можем написать

(3.6)

где – любое вещественное число. Используя дважды условие 2, можем написать левую часть неравенства (3.6) в виде

Воспользовавшись теперь условием 3, получим

Обратившись к условию 1, запишем неравенство (3.6) окончательно в виде

В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно . Так как этот трехчлен неотрицателен при любом , то его дискриминант не может быть положительным, т. е.

Записав последнее неравенство в виде

и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим (3.5).

§ 5. Неравенство треугольника

Для произвольных векторов и евклидового пространства выполняется неравенство

, (3.7)

называемое неравенством треугольника.

Для доказательства справедливости (3.7) заметим, что квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя, т. е.

(3.8)

Обращаясь последовательно к условию 2 в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию 1, можем написать

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

(3.9)

Из сравнения (3.8) и (3.9) следует справедливость (3.7). Заметим, что если и означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (3.7) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.

§ 6. Угол между векторами

Вначале заметим, что на основании неравенства Коши-Буняковского можно утверждать, что величина меньше 1.

Поэтому можно ввести следующее определение.

Определение 1. Углом между векторами и называют такое число (от до ), для которого выполняется равенство

(3.10)

Определение 2. Векторы и называются ортогональными, если выполнено равенство

(3.11)

Если и – оба ненулевые, то это определение означает, что угол между и равен . Нулевой вектор, по определению, считается ортогональным любому вектору.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты попарно взаимно ортогональны.

Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (3.3), векторы

и

ортогональны.