1.2.Периодические функции

В процессе изучения вопроса, мы встретились с различными определениями периодической функции в учебной литературе для высших учебных заведений

Периодическая функция ―  это функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Можно определить периодическую функцию следующим образом: функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), T>0, что на всей области определения функции выполняется равенство: 

.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство  , где   - любое целое число. (Советская энциклопедия).

Или

Периодическая функция - это функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Или

Функция   с областью определения   называется периодической, если существует хотя бы одно число  , такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки  принадлежат области определения   для любого  ;

2) для каждого    имеет место соотношение:

.

Или

Пусть   есть абелева группа (обычно предполагается   вещественные числа с операцией сложения или   — комплексные числа). Функция   называется периодической с периодом  , если справедливо:

.

Если это равенство не выполнено ни для какого   , то функция   называется апериодической.

Если для функции   существуют два периода  , отношение которых не равно вещественному числу, то есть  , то   называется двоякопериодической функцией. В этом случае значения   на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме натянутом на  .

Замечание

Период функции определяется неоднозначно. В частности, если   — период, то и любой элемент   вида  = , где   — произвольное натуральное число, так же является периодом.

3. Свойства периодических функций.

• Если  f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом  .

• Пусть функции f₁ (x) и f₂ (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T₁ > 0 и T₂ > 0. Тогда если  , то функция   периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел   и  .

Особенности построения графика периодических функций

График периодической функции обычно сначала строят на промежутке [x₀; x₀ + T). Выполняют параллельный перенос точек графика на всю об­ласть определения.

3. Примеры периодических функций и их графиков.

Примерами периодических функции могут служить тригонометрические функ­ции. Рассмотрим основные из них.

Функция F(x) =sin(x)

а)  Область определения:   D (sin x) = R .

б)  Множество значений:   E (sin x) = [– 1 ,  1] . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  .

д)  Нули функции:  sin x = 0  при    ,   n   Z.

е)  Промежутки знакопостоянства функции:

при , ;

при

     

ж)  Промежутки монотонности: функция возрастает при ;

функция убывает при ,

з)  Экстремумы функции:  ;           .

График функции    y= sin x   изображен на рисунке.

Функция F(x) = cos(x)

а) Область определения  .

б) Множество значений:   E (cos x ) = [ – 1 ,  1 ] . в)  Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  .

д)Нули функции: при .

е)Промежутки знакопостояннства:

;   .

ж) Промежутки монотонности:

функция возрастает при ;

функция убывает при

з) Экстремумы:

;             .

График функции    y= cosx   изображен на рисунке.

Функция F(x) = tg(x)

а)  Область определения:  

б) Множество значений:   E ( )

в) Четность, нечетность. Функция нечетная.

г) Периодичность. Функция периодическая с основным периодом

д) Нули функции.:  tg x = 0  при   x =  n,   n   Z.

е)  Промежутки знакопостоянства:

;        .

ж)  Промежутки монотонности:  функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з)  Экстремумы:  нет.

График функции   y = tg x   изображен на рисунке.

Функция F(x) = ctg(x)

а)  Область определения:   D (ctg x) = R \ {  n( n   Z ) }.

б)  Множество значений:   E (ctg x ) = R . в) Четность, нечетность функция нечетная.

г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T =  .

д)  Нули функции:  ctg x = 0  при   x =  /2 +  n,   n   Z.

е)  Промежутки знакопостоянства ;

  ж)  Промежутки монотонности:  функция убывает на каждом интервале, це­ликом принадлежащем ее области  определения.

з)  Экстремумы:  нет.

График функции   y = ctg x  изображен на рисунке.

 

Интересные графики получаются с применением суперпозиции-образования сложных функций на основе тригонометрических периодических функций.

График периодической функции