3.1. Особенности моделирования экономических процессов с применением теории систем массового обслуживания

Теория систем массового обслуживания (СМО) - это класс непрерывных цепей Маркова, особенность которых заключается в том, что состояния системы определяются числом каналов к, занятых обслуживанием заявок, поступивших в систему с интенсивно­стью  и числом мест в очереди заявок, ожидающих обслуживания системой, с интенсивностью .

Каждая СМО состоит из одного или нескольких каналов (механизмов, устройств, комплексов) обслуживания – первый обязательный элемент. В качестве таких каналов могут выступать судоремонтные заводы, доки, операторы организаций и т.д. В системе протекают потоки событий –второй обязательный элемент. Потоки событий, протекающие в системе, представляют собой потоки поступления заявок и потоки обслуживания заявок, которые переводят систему из состояния в состояния. Заявками могут быть средства, суда, нуж­дающиеся в ремонте, корреспонденция, донесения от судов в море, больные, нуждающиеся в лечении, и т.д. Обслуживание поступившей заявки продолжается в течение некоторого времени, после чего канал освобождается и готов к приему очередной заявки. Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО скапливается излишнее число заявок, которые образуют очередь или покидают СМО необслуженными. В другие промежутки времени СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать. А по­этому третьим обязательным элементом системы массового обслуживания является оче­редь заявок на обслуживания с ее дисциплиной обслуживания (дисци­плиной очереди⁵). Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

Класс СМО очень большой и его можно представить как:

1. По числу каналов обслуживания:

- одноканальные СМО;

- многоканальные СМО.

2. По производительности каналов обслуживания⁶:

- СМО с одинаковой производительностью каналов обслуживания;

- СМО с различной производительностью каналов обслуживания.

3. По потоку заявок⁷:

- СМО со стационарным потоком заявок − в данной СМО интенсивность по­тока заявок не меняется во времени;

- СМО с нестационарным потоком заявок − в данной СМО интенсивность по­тока заявок является функцией времени.

4. По дисциплине обслуживания:

- СМО с отказами − в данной СМО заявка, поступившая в систему с интен­сивностью , в момент, когда все каналы уже заняты обслуживанием заявок посту­пивших ранее, покидает систему не обслуженной;

Пример №3.

Примером подобной СМО может служить система обслуживания больных в поликлинике города, у которых время, необходимое для специального осмотра больных больше, чем рабочее время.

- СМО с ограничением на длину очереди - в данной СМО заявка, поступив­шая в систему в момент, когда все каналы "обслуживания" заняты, становится в очередь на обслуживание. Число мест в очереди ограничено. Если заявка поступила в систему, когда все места в очереди заняты, то она покидает систему не обслужен­ной;

Пример №4.

Примером такой СМО является штабной пост, имеющий ограниченный срок годности донесе­ния (прибытие нового донесения с судна исключает необходимость обработки до­несений, поступивших от этого судна ранее и ожидавших обработки).

- СМО с бесконечным ожиданием - в данной СМО заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь на обслуживание и будет обслужена независимо от длины очереди. Особенность при организации таких систем заключается в том, что руководителю надо следить, чтобы интенсивность об­служивания заявок системой при занятых каналах не превышала бы интенсивность поступления заявок в систему, иначе очередь в такой системе будет неограниченно возрастать и руководитель не будет иметь возможность управлять таким процессом;

Пример №5.

Примером такой СМО является система судоремонта. Подлежащие ремонту суда будут обязательно ожидать ремонта.

- СМО с приоритетами - в данной СМО при поступлении заявки с большим приоритетом немедленно освобождается один из каналов или ожидается освобожде­ние одного из каналов, занятых обслуживанием заявок более низкого ранга и далее освободившейся канал приступает к ее обслуживанию.

Пример №6.

Примером такой СМО является система докования. С освобождением одного из доков вне оче­реди могут ставиться на докование суда некоторых классов или аварийные суда.

- СМО смешанного типа - В системах смешанного типа накладываются ограничения либо на длину очереди, либо на время пребывания заявки в очереди, либо на время пребывания заявки в системе.

Пример №7.

Примером такой СМО является порт с ограниченным числом мест, где прибывающие для раз­грузки суда могут ожидать начала разгрузки. Если все причалы для обработки судов и все места ожидания судами начала обработки будут заняты, очередное судно потребуется направить в другой порт, т.к. в данном порту оно получит «отказ».

5. По числу систем обслуживания:

- Однофазные СМО − в данной СМО заявка, поступившая в систему, получает все необходимое ей обслуживание в одной СМО;

- Многофазные СМО − в данной СМО заявка, чтобы быть обслуженной, должна последовательно пройти несколько СМО.

Пример №8.

Так для изучения закономерности динамики прохождения информации в органе управления, его представляют как многофазная СМО. Поступающие в орган управления донесения превращаются в команды управления, как правило, после последовательного прохождения нескольких отделов органа.

6. По ограничению числа потребителей:

- Замкнутые СМО - данная СМО обслуживает ограниченное число потреби­телей;

- Разомкнутые СМО - данная СМО обслуживает почти не ограниченное число потребителей;

Пример №9.

Примером замкнутой СМО является судоремонтный завод, обслуживающий суда только данного порта приписки. Если же этот завод будет обслуживать все суда министерства морского и речного флота и суда других ведомств, то такая СМО будет разомкнутой.

7. По выходу каналов из строя⁸:

- СМО с восстановлением вышедших из строя каналов обслуживания;

- СМО без восстановлением вышедших из строя каналов обслуживания;

Пример №10.

Примером может служить оборудование на заводе, которое прекратило работать из–за небольшой поломки после обслуживания партии полуфабрикатов. При этом, если поломка устранена к началу работы обслуживания с очередной партией полуфабрикатов, имеет место СМО с восстановлением вышедших из строя каналов обслуживания. Если же обслуживание возможно только после окончания ремонта, который продлиться до конца рабочего дня, то система СМО выступает как систе­ма без восстановления вышедших из строя каналов обслуживания.

Отнесения реального процесса к тому или иному классу процессов массового обслуживания связано, как правило, с необходимостью принятия ряда допущений. При пуассоновских потоках заявок и обслуживающий процесс массового обслуживания является Марковским. Интенсивность поступления заявки  и интенсивность обслуживания  зависят от состояния системы, что означает их зависимость от числа n заявок и числа k обслуживающих каналов. Промежутки времени t между поступлениями в систему очередных заявок явля­ются случайной величиной, распределённой по показательному закону, а вероятность по­ступления заявок за определённое количество элементарных промежутков времени dt опре­деляется по биноминальному закону.

Эффективность работы СМО характеризуется показателями эффективности и её основными параметрами, которые можно разбить на три группы:

1. Показатели эффективности функционирования СМО:

• абсолютная пропускная способность – среднее число заявок обслуженных в единицу времени (А);

• относительная пропускная способность – отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступающих в систему на обслуживание за единицу времени (Q);

• средняя продолжительность периода занятости СМО;

• коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого система занята обслуживание заявок.

1. Показатели качества функционирования СМО:

• математическое ожидание времени обслуживания:

_обсл = (29)

• среднее время ожидания заявки в очереди;

• среднее время пребывания заявки в системе;

• среднее число заявок в очереди;

• среднее число заявок, пребывающих в системе;

• вероятность окончания обслуживания заявки одним каналом (вероятность освобождения канала) за бесконечно малый промежуток времени dt с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости численно равна:

р_обсл = 1 dt (30)

• вероятность того, что за время dt будет обслужена хотя бы одна заявка (освободится хотя бы один канал из k занятых обслуживанием:

_Робсл1 = (31)

Разлагая в ряд по степеням k и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим⁹:

Р_обсл1 = kdt (32)

• вероятность того, что за время dt не будет обслужено ни одной заявки (не освободится ни один канал) равна:

Р_{обсл 0} = 1  _Робсл1 = 1  kdt (33)

• вероятность отказа заявки в обслуживании без ожидания

1. Показатели экономической эффективности

• средний доход в единицу времени.

Подчеркнём, что все полученные выше результаты касаются простейших потоков.

Предметом теории СМО - является установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью обслуживания.

Классификация целевых назначений СМО определяет классы решения задач:

- статистические задачи;

- задачи анализа поведения системы;

- экономико-математические задачи.

Статистические задачи, возникающие при исследовании экономических систем методами теории СМО, связаны с оценкой параметров основных процессов протекающих в системе.

Задачи анализа поведения систем − предназначены для выявления характеристик экономических систем в процессе их функционирования с помощью математических моделей, более или менее детально отражающих свойства реальных систем.

Экономико-математические задачи – используются для принятия решений относительно режима функционирования данной экономической системы, описанной методами теории СМО, или для определения нормативных требований по обеспечению эффективной работы системы.