2. Уточненный расчет валов.

(расчет на коэффициент запаса прочности. Эпюры)

Проверка прочности валов

Прочность валов проверим по гипотезе наибольших касательных напряжений.  Быстроходный (ведущий) вал.  1.Так как быстроходный вал изготовляют вместе с шестерней, то его материал известен – сталь 45, для которой предел выносливости определяется по формуле  σ_-1 = 0,43σ_В, σ_В – предел прочности, МПа. Согласно рекомендациям предел прочности σ_В = 700 МПа.  Тогда по формуле предел выносливости  σ_-1 = 0,43 ∙ 700 = 301 МПа.  2. Допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле напряжений, согласно рекомендациям [3, с. 195], определяется по формуле  [σ_И]_-1 = [σ_-1/([n]K_σ] k_РИ, где σ_-1 – предел выносливости, МПа;  n – коэффициент запаса прочности (n = 2,2 по [3,с.195]);  K_σ – эффективный коэффициент концентрации напряжений (K_σ = 2,2 по [3, с. 310]); k_РИ – коэффициент режима нагрузки при расчете на изгиб (k_РИ= 1 по [3, с. 195]).  Тогда по формуле получаем  [σ_И]_-1 = [σ_И]_-1 = [301 / (2,2 ∙ 2,2)] ∙1 = 62,1 МПа.  3. Вычерчиваем схему нагружения вала и строим эпюры изгибающих и крутящих моментов а) определяем реакции опор в вертикальной плоскости zOy от сил F_r и F_а  ∑М_А = – F_r a₁ – F_a∙0,5∙d₁ + Y_B·2 a₁ = 0, a₁ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  F_r – радиальная сила, сжимающая зуб, Н; 561 F_a – осевая сила, Н 0 d₁–делительный диаметр шестерни,мм.  Выразив из уравнения Y_B получим  Y_B =    Подставив значения в уравнение получим  Y_B = (561/2)+(0/4*15)=280Н.  ∑М_В = – Y_А·2 a₁ – F_a0,5d₁ + F_r a₁ = 0, где a₁ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  F_r – радиальная сила, сжимающая зуб, Н;  F_a – осевая сила, Н.  Выразив из уравнения Y_А получим  Y_А =      Рис. 1.  Подставив значения в уравнение получим  Y_А = 561/2=280 Н.  б) определяем реакции опор в горизонтальной плоскости xOy от силы F_t:  ∑М_А = – F_t a₁ + Х_B·2 a₁ = 0 где a₁ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала,  F_t – окружная сила, изгибающая зуб, Н. 1542 Выразив из уравнения Х_В получим  Х_В =  =  Подставив известные величины в уравнение получим  Х_В = 1542/2=741 Н,  Х_А = Х_В =741 Н;  в) для построения эпюр определяем размер изгибающих моментов в характерных точках (сечениях) А, С и В;  в плоскости yOz  М_А = М_В = 0; М_С^ЛЕВ = Y_А· a₁, М_С^ПРАВ = Y_В· a₁, где a₁  – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентироыочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и  В оси вала;  Y_А , Y_В – опорные реакции, Н.  Тогда по формуле имеем  М_С^ЛЕВ = 280 ∙ 0,032 = 9 Н ∙ м;  Тогда по формуле М_С^ПРАВ = Y_В· a₁ = 280 · 0,032= 9 Н ∙ м;  (М_FrFa)_max = 9 Н ∙ м;  в плоскости хOz  М_А = М_В = 0; М_С = Х_А· a₁, где a₁ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  Х_А – опорная реакция, Н.  Тогда по формуле получаем  М_С = 741 · 0,032= 23,7Н ∙ м;  М_Ft = 23,7 Н ∙ м;  г) крутящий момент  Т = Т₁ = 27 Н ∙ м;  д) выбираем коэффициент масштаба и строим эпюры 4. Вычисляем наибольшие напряжения изгиба и кручения для опасного сечения С. Суммарный изгибающий момент по [3, с. 311], определяется по формуле  М_И =  , где М_Fr и M_Ft – изгибающие моменты, Н ∙ м.  Тогда  М_И = 25 Н∙м.  Напряжение изгиба по [3, с. 311], определяется по формуле  σ_И = М_И/W_X = 32 М_И/(πd_f1³), где М_И – суммарный изгибающий момент, Н∙м;  W_X – осевой момент сопротивления круглого сечения вала, м³;  W_X = πd_f1³/32, d_f1 – диаметр впадин шестерни, мм.  Подставив известные величины в формулы получим  σ_И = 32 М_И/(πd_f1³) = 32·25·10³ / (3,14· (31)³) = 8,6·МПа.  Допускаемое касательное напряжение на кручение определяется по формуле  τ_К = Т/ W_Р, где Т – крутящий момент, Н∙м;  W_Р – полярный момент сопротивления круглого сечения вала, м³;  W_Р = πd_f1³/16 d_f1 – диаметр впадин шестерни, мм.  Подставив известные величины в формулы и получим  τ_К = 16·27·10³ / 3.14*31^3= 4,6·МПа.  5. Согласно рекомендациям [3, с. 194], определяем эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напряжений:  σ_Э =  ≤ [σ_И]_-1, где σ_И – напряжение изгиба, Па;  τ_К – касательное напряжение на кручение, Па;  [σ_И]_-1 – допускаемое напряжение, МПа.  Тогда  σ_Э =  12,5 МПа,  что значительно меньше [σ_И]_-1 = 62,1 МПа.  Тихоходный вал.  1. Материал для изготовления тихоходного вала – сталь 35 , для которой по [3, табл. П3] при d < 100 мм предел прочности σ_В = 510 МПа.  Предел выносливости, согласно рекомендациям [3, с.195] определяется по формуле  σ_-1 = 0,43σ_В, σ_В – предел прочности, МПа.  Тогда по формуле предел выносливости  σ_-1 = 0,43 ∙510 = 219МПа.  2. Допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле напряжений, согласно рекомендациям [3, с. 195], определяется по формуле  [σ_И]_-1 = [σ_-1 / ([n]K_σ] k_РИ, где σ_-1 – предел выносливости, МПа;  n – коэффициент запаса прочности (n = 2,2);  K_σ – эффективный коэффициент концентрации напряжений (K_σ = 2,2 по [3, с. 310]); k_РИ – коэффициент режима нагрузки при расчете на изгиб (k_РИ= 1 по [3, с. 310]).  Тогда по формуле получаем  [σ_И]_-1 = [219/(2,2 ∙ 2,2)] ∙1 = 45,25 МПа.  3. Вычерчиваем схему нагружения вала и строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 3.):  а) определяем реакции опор в вертикальной плоскости yOz от сил F_r и F_а  ∑М_А = – F_r a₂ – F_a0,5d₂ + Y_B·2 a₂ = 0, где a₂ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  F_r – радиальная сила, сжимающая зуб, Н; =728 F_a – осевая сила, Н. 0 Тогда из уравнения следует, что  Y_B =    Подставив известные величины в формулу получим  Y_B = (728/2)+(0/4*15)=364Н.  ∑М_В = – Y_А·2 a₂ – F_a0,5d₂ + F_r a₂ = 0, где a₂ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  F_r – радиальная сила, сжимающая зуб, Н; F_a – осевая сила, Н.  Выразив из уравнения Y_А получим  Y_А =    Подставив известные величины в формулу получим 

. Y_А = 728/2=364 Н.  б) определяем реакции опор в горизонтальной плоскости xOz от силы F_t:    Рис. 2.  ∑М_А = – F_t a₂ + Х_B·2 a₂ = 0, a₂ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  F_t – окружная сила, изгибающая зуб, Н.  Выразив из уравнения Х_В получаем  Х_В = F_t a₂/2 a₂  Подставив известные величины в формулу получим  Х_В = 2000/2 = 1000 Н,  Х_А = Х_В = 1000 Н;  в) для построения эпюр определяем размер изгибающих моментов в характерных точках (сечениях) А, С и В;  в плоскости yOz  М_А = М_В = 0; М_С^ЛЕВ = Y_А· a₂, М_С^ПРАВ = Y_В· a₂, где a₂ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  Y_А , Y_В – опорные реакции, Н.  Тогда по формуле получаем  М_С^ЛЕВ = 364 ∙ 0,024 = 8,7 Н ∙ м;  По формуле имеем  М_С^ПРАВ = 364 · 0,024 = 8,7 Н ∙ м;  (М_FrFa)_max = 8,7 Н ∙ м;  в плоскости хOz  М_А = М_В = 0; М_С = Х_А· a₂, где a₂ – расстояние по длине оси вала от точки приложения сил, возникающих в зубчатом зацеплении, до точек приложения опорных реакций, которые ориентировочно приняты на уровне внутренних торцов подшипников в точках А и В оси вала;  Х_А – опорная реакция, Н.  Тогда по формуле получаем  М_С = 1000· 0,024 = 24Н ∙ м;  М_Ft = 24 Н ∙ м;  г) крутящий момент Т = Т₃ = Н∙м; 588 д) выбираем коэффициент масштаба и строим эпюры 4. Вычисляем наибольшие напряжения изгиба и кручения для опасного сечения С. Суммарный изгибающий момент, согласно рекомендациям [3, с. 311], определяется по формуле  М_И =  , где М_FrFa и M_Ft – изгибающие моменты, Н ∙ м.  Подставляем значения изгибающих моментов, получаем  М_И = 25,5Н∙м.  Напряжение изгиба по [3, с. 311], определяется по формуле  σ_И = М_И/W_X  где М_И – суммарный изгибающий момент, Н•м;  W_X – осевой момент сопротивления круглого сечения вала, м³  W_X - расчетный диаметр вала в сечении С, мм.  W_X = πd_f2³/32 Тогда подставляя значения суммарного изгибающего момента и расчетного диаметра вала получаем σ_И = 32·25,5∙10³/ (3,14∙ (184)³) = 4,1 МПа.  Допускаемое касательное напряжение на кручение определяется по формуле  τ_К = Т / W_Р, где Т – крутящий момент, Н∙м; 588 W_Р – полярный момент сопротивления круглого сечения вала, м³;  W_Р = πd³/16 d – расчетный диаметр вала в сечении С, мм.  Тогда подставляя значения крутящего момента и расчетного диамера τ_К = 16·588·10³/ (3,14· (184)³) = 4,8 МПа.  5. Согласно рекомендациям [3, с. 194], определяем эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напряжений и сравниваем его значение с допускаемым:  σ_Э =  ≤ [σ_И]_-1, где σ_И – напряжение изгиба, Па;  τ_К – касательное напряжение на кручение, Па;  [σ_И]_-1 – допускаемое напряжение, МПа.  Тогда по формуле получаем  σ_Э = 10,7 МПа,  что значительно меньше [σ_И]_-1 = 45,25 МПа.