1.2. Випадкові події та дії над ними.

Означення. Випадковою подією називається така подія, яка при здійсненні певної сукупності умов може відбутися, а може й не відбутися.

Прикладами випадкових подій, як відмічалося у п. 1.1, може бути поява герба при киданні монети, поява карти певної масті при випадковому витяганні карти з колоди, влучання пулі в ціль при пострілі тощо.

Сукупність умов буде здійснена, якщо проведено певне випробування. Тому замість того, щоб казати «при здійсненні сукупності умов», будемо казати «внаслідок випробування». Тобто подія розглядатиметься як наслідок випробування.

Домовимось випадкові події позначати великими літерами латинського алфавіту: , …

Означення. Подія називається достовірною, якщо внаслідок випробування вона обов’язково трапиться.

Приклад. Нехай з скриньки, в якій містяться лише білі кулі, навмання витягається одна куля. Подія, яка полягає в тому, що ця куля біла, є достовірною.

Означення. Подія називається неможливою, якщо внаслідок випробування вона не може трапитися.

Наприклад, поява з скриньки, де тільки білі кулі, кулі будь якого іншого кольору є неможлива подія.

Домовимось достовірну подію позначати літерою , а неможливу – літерою . Фактично достовірна та неможлива подія не є випадковими. Але, як ми побачимо далі, їх можна розглядати як певні граничні випадки випадкових подій.

Означення. Випадкова подія називається протилежною випадковій події , якщо вона полягає в тому, що внаслідок випробування подія на трапиться.

Наприклад, нехай з колекції зразків різних мінералів навмання обирається один зразок. Якщо подія полягає в тому, що цей зразок польовий шпат, то подія – в тому, що цей зразок не є польовим шпатом.

Означення. Добутком випадкових подій і називається подія, яка полягає в тому, що внаслідок випробування трапилася як подія , так і подія .

Тобто подія полягає у сумісній появі подій і .

Приклад. Нехай з колоди карт навмання витягається одна карта. Якщо подія – ця карта пікової масті, а подія – ця карта дама, то подія – ця карта пікова дама (водночас і піка, і дама).

Означення. Події і називаються несумісними, якщо – подія неможлива; .

Тобто несумісні події – це такі події, які в одному і тому ж випробування виключають одна іншу. Разом вони відбутися не можуть.

Приклад. У коробці лежать шашки, чорні та білі. Навмання витягається одна шашка. Якщо подія – ця шашка біла, а подія – ця шашка чорна, то і – несумісні події.

Якщо події і не є несумісними, то вони називаються сумісними.

Означення. Сумою випадкових подій і називається подія, яка полягає в тому, що внаслідок випробування відбудеться хоча б одна з подій і .

Тобто трапиться або тільки подія , або тільки подія , або події і разом.

Приклад. Нехай здійснюється два постріли в мішень. Якщо подія – влучання при першому пострілі, подія – влучання при другому пострілі, то – влучання або тільки при першому пострілі, або тільки при другому пострілі, або в обох пострілах. Тобто відбулося хоча б одне влучання.

Сформулюємо деякі властивості дій над подіями.

1. Подія, протилежна достовірній, є неможливою, а подія, протилежна неможливій, є достовірною, тобто , .

2. Подія, протилежна події, яка протилежна події , є подія , тобто .

3. Добуток події на їй протилежну є неможлива подія, тобто . Одна й та ж подія не може водночас і трапитись і не трапитись (тут виключаються поетичні метафори типу «речка движется и не движется», «песня слышится и не слышится»).

4. Сума події та їй протилежної є подія достовірна, тобто . Іншими словами будь яка подія завжди має або відбутися, або не відбутися. Персонаж відомого мультфільму Вінні-Пух помітив, що будь яка річ (крім меда) завжди або є, або її нема. Тому жартівливо можна назвати цю властивість теоремою Вінні-Пуха.

5. Множення подій є операція комутативна, тобто . Це безпосередньо випливає з означення добутку подій: і – одна й та ж сумісна поява подій і .

6. Додавання подій є також операція комутативна, тобто . Це також безпосередньо випливає з означення суми подій.

7. Множення та додавання подій є операції асоціативні, тобто: , . Це також безпосередньо випливає з означення добутку та суми подій.

8. Має місце дистрибутивний закон, тобто .

А ця властивість вже вимагає доведення. Дійсно, подія полягає в здійсненні хоча б однієї з подій або . Тому подія полягає в здійсненні хоча б однієї з подій або , а також обов’язковому здійсненні події . А це означає, що подія має відбутися або разом тільки з подією , або разом тільки з подією , або як з подією , так і з подією водночас. Тобто має відбутися хоча б одна з подій або . А це й є сума .

І навпаки, сума полягає в тому, що подія здійснилася або разом з подією , або разом з подією , або з ними обома водночас. А це означає, що подія здійснилася разом хоча б з однією з подій і . А це й є .

Легко бачити, що властивості 5 – 8 дій над подіями аналогічні діям додавання та множення дійсних чисел : , , .

9. Добуток події на достовірну подію є подія : .

Дійсно, добуток або полягає у сумісному здійсненні подій і . Але подія достовірна, вона трапиться обов’язково, тому подія або трапиться тоді і тільки тоді, коли трапиться подія , а це й означає, що .

10. Добуток події на неможливу подію є подія неможлива: .

Дійсно, добуток або полягає у сумісному здійсненні події і неможливої події, але неможлива подія не може відбутися, отже не може відбутися й або , а це й означає, що .

11. Сума події і неможливої події є подія , тобто .

Дійсно, сума або полягає в здійсненні або події або неможливої. Але оскільки неможлива подія не може трапитися, то подія або трапиться тоді і тільки тоді, коли трапиться подія , а це й означає, що .

Властивості 9 – 11 показують, що в діях над подіями неможлива подія та достовірна подія є певними аналогами нуля та одиниці в діях над дійсними числами. А саме , , . Але в той же час є й відмінність. В діях над дійсними числами , якщо тільки . Тем не менш в діях над подіями маємо наступну властивість.

12. Сума події і достовірної події є подія достовірна: .

Дійсно, сума або полягає в здійсненні хоча б однієї з подій – події або достовірної. Але достовірна подія трапиться обов’язково, тому обов’язково трапиться і (як і ). А це й означає, що .

13. Подія, протилежна добутку подій і , є сума подій, протилежних подіям і : .

Дійсно, розглянемо спочатку подію . Вона полягає в тому, що події і не трапилися разом. А тоді або не трапилася подія , або подія , або вони обидві не трапилися. В свою чергу це означає, що трапилася або подія , або подія , або разом події і . А це й є сума .

Тепер навпаки, розглянемо подію . Вона полягає в тому, що трапилися або подія , або подія , або події і разом. А це означає, що не трапилася або подія , або подія , або вони обидві не трапилися. В усякому разі події і не трапилися разом, а це й означає подію, протилежну до , тобто . Таким чином подія трапляється тоді і тільки тоді, коли трапляється подія . Це й означає, що .

14. Подія, протилежна сумі подій і , є добуток подій, протилежних подіям і : .

Дійсно, розглянемо спочатку подію . Вона полягає в тому, що подія, що полягає в здійснені хоча б однієї з подій і , не трапилася. А це означає, що не трапилася жодна з подій і . Тобто разом трапилися події і , а це й є подія .

Тепер розглянемо подію . Вона полягає в тому, що трапилися разом події і , тобто не трапилися як подія , так і подія . А це означає, що не трапилася навіть хоча б одна з подій і , тобто трапилася подія .

Таким чином подія трапляється тоді і тільки тоді, коли трапляється . Це й означає, що .

Властивості 13, 14 називаються законами де Моргана.

Діям над подіями можна надати досить наглядні інтерпретації. Розглянемо геометричну інтерпретацію. Домовимось випадкові події і зображувати кругами на площині:

Події і будуть сумісними, якщо ці круги матимуть непорожній перетин:

Добутку подій і відповідатиме саме цей перетин:

Сумі подій і відповідатиме об’єднання кругів:

Інша інтерпретація суми та добутку подій пов’язана з електричними схемами. Припустимо, що є електричні лампи і . І нехай подія полягає в тому, що лампа пропускає електричний струм, а подія – що лампа пропускає електричний струм.

подія

подія

Якщо лампи і включено до електричного ланцюга послідовно, то ланцюг пропускатиме струм тоді і тільки тоді, коли пропускають струм і лампа , і лампа . Тобто коли трапляється добуток подій і :

подія

Якщо лампи і включено паралельно, то ланцюг пропускатиме струм тоді і тільки тоді, коли пропускає струм хоча б одна з ламп і . Тобто коли трапляється сума подій і :

подія

Приклад. Задано електричного ланцюга:

Записати подію, яка полягає в тому, що цей ланцюг пропускає струм.

Очевидно, що ця подія є: .