5.5.2. Регуляторы с минимальной обобщенной дисперсией для объектов с запаздыванием
Объект управления может описываться передаточной функцией, учитывающей наличие запаздывания:
(5.166)
Структура системы управления с объектом такого типа изображена на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Регулятор с минимальной дисперсией в системе управления с объектом, содержащим запаздывание
В систему включен фильтр, формирующий в соответствии с уравнением (5.154) случайное возмущение n(k) из белого шума v(k) с характеристиками (5.152).
Поскольку управляющая переменная u(k), подаваемая на вход объекта с запаздыванием d, оказывает воздействие на значения регулируемой переменной начиная лишь с y(k + d + l), используем в данном случае критерий
.
(5.167)
Согласно (5.154), предсказанное значение y(k + d + l) можно определить из соотношения
(5.168)
В момент времени k, для которого рассчитывается управление u(k), значения случайного шума v(k + 1), …, v(k + d+ 1) еще неизвестны. Учитывая это, разделим выражение, описывающее формирующий фильтр в (5.168), на две части:
(5.169)
На рис. 5.6 формирующий фильтр также представлен в виде двух составляющих: F(z1), описывающей ту часть последовательности значений n(k), которые не могут быть подавлены за счет u(k), и
z-(d+1)L(z-1)/C(z-1), соответствующей тем значениям n(k) в y(k), на которые u(k) воздействует. Введенные в (5.169) полиномы имеют вид
,
(5.170)
.
(5.171)
Их параметры можно определить путем непосредственного сравнения коэффициентов при одинаковых степенях z в уравнении
(5.172)
В качества примера пусть m = 3 и d = l из выражения (5.172) получаем
f1 = d1 – c1, l0 = d2 – c2 – c1f1, l1 = d3 – c3 – c2f1, l2 = – c3f1,
а при m = 3 и d = 2:
f1 = d1 – c1, f2 = d2 – c2 – c1f1, l0 = d3 – c3 – c1f2 + c2f1,
l1 = – c2f2 – c3f1, l2 = – c3f2.
Для того чтобы определить коэффициенты полиномов при т = 2, достаточно положить c3 = d3 = 0; при m = l c2 = d2 = c3 = d3 = 0.
Уравнение (5.169) можно переписать в форме
(5.173)
По аналогии с уравнениями (5.156–5.159) произведем перемножение полиномов и, вернувшись во временную область, получим выражение для I(k + l). Из условия I(k + 1)/u(k) = 0 следует
(5.174)
Подставим в (5.174) выражение для z(d+1)y(z) из уравнения (5.168):
.
Отсюда имеем окончательный результат в виде передаточной функции
(5.175)
При r = 0 (5.175) переходит в передаточную функцию:
(5.176)
Если С(z1) = А(z1), то при r 0 имеем
,
(5.177)
а при r = 0
(5.178)
5.5.3. Регуляторы с минимальной дисперсией без статического смещения
Для того чтобы постоянные внешние возмущения или ступенчатые изменения задающей переменной не приводили к появлению постоянных смещений регулируемой переменной, передаточная функция регулятора должна удовлетворять условию
(5.179)
Поскольку это условие не выполняется для синтезированных регуляторов с минимальной дисперсией, в их структуру должны быть внесены некоторые изменения.
Ранее синтез регуляторов с минимальной дисперсией проводился в предположении, что задающий сигнал отсутствует, т. е. (k) = 0, ввиду чего y(k) = – e(k). Используя расширенный критерий качества
,
(5.180)
можно минимизировать дисперсию регулируемой переменной в рабочей точке [(k); u(k)], соответствующей ненулевому задающему сигналу. Здесь величина
(5.181)
равна такому значению u(k), при котором отсутствует статическое смещение, т. е. y(k) = (k). Выполнив преобразования, получим уравнение модифицированного регулятора с минимальной дисперсией:
(5.182)
Данный регулятор обеспечивает устранение смещений, возникающих в результате изменения задающей переменной.
Контрольные вопросы
1. Запишите типовые законы дискретных регуляторов?
2. Запишите соотношения для диапазонов изменения параметров регулятора второго порядка?
3. Выведите соотношения для параметров регулятора с конечным временем установления переходного процесса?
4. Выведите зависимость для расчёта матрицы коэффициентов обратной связи, обеспечивающих желаемое расположение полюсов для скалярного управления?
5. Как синтезировать цифровую систему управления с желаемым расположением полюсов с обратной связью по состоянию и динамической обратной связью по выходу?
6. На основании какого критерия можно оценить качество дискретной стохастической системы?
7. Найдите передаточную функцию регулятора, обеспечивающего минимальную дисперсию объекта без запаздывания?
8. Как синтезировать дискретный регулятор для объекта с запаздыванием из условия минимизации дисперсии?