6.8. Линейная оптимальная фильтрация непрерывных систем

При создании оптимальных систем управления объектами с зашумленными переменными необходимо обеспечить их оптимальную фильтрацию.

Пусть случайный действительный векторный n-мерный процесс x(t) порождается гауссовским белым шумом V(t) и является решением уравнения

. (6.181)

Допустим, что M{X₀} = 0, а белый шум v(t) имеет характеристики

, (6.182)

где G(t)  симметричная положительно определенная интенсивность вектора v(t). На интервале (t₀, t) измеряется вектор Z(t) размера m  n, связанный с вектором X(t) линейным матричным уравнением

, (6.183)

где c(t)  заданная матрица размера m  n; N(t)  гауссовский векторный белый шум.

Вектор N(t) имеет свойства

, (6.184)

где Q(t) – симметричная матрица интенсивностей. Необходимо определить наилучшую среднеквадратичную оценку с помощью фильтра, который описывается интегралом свертки

(6.185)

и удовлетворяет условию

, (6.186)

где q(t,) – матрица весовых функций.

Данное решение находится на основе уравнения Винера – Хопфа

. (6.187)

Рассмотрим возможность записи этого уравнения в терминах, составляющих (6.181)–(6.183). Продифференцируем уравнение (6.187) по t и, изменяя порядок, определяем и М, а затем получаем

(6.188)

Составляющая M{V(t)Z^T()} равна нулю. Используя формулу (6.183), преобразуем выражение

M{Z(t)Z^()} = C(t)M{X(t)Z^T()}.

На основании полученных выражений формула (6.188) примет вид

(6.189)

Равенство (6.189) можно выполнить при условии

. (6.190)

Продифференцируем уравнение свертки (6.185):

. (6.191)

Используя равенство (6.190) и обозначая q(t, t) через D(t), перепишем формулу (6.191) в виде

, (6.192)

а с учетом формулы (6.185) перепишем уравнение (6.192) в виде

(6.193)

Векторно-матричное уравнение (6.193) для оптимальной оценки получило наименование фильтра Калмана – Бьюси.

В уравнении (6.193) остается неизвестной матрица B(t). Для ее определения введем ошибку оценки:

. (6.194)

С учетом (6.194) уравнение Винера – Хопфа имеет вид

(6.195)

С учетом формулы (6.185) уравнение (6.195) запишем в виде

. (6.196)

Отсюда имеем

. (6.197)

Условие (6.197) позволяет записать

. (6.198)

Можно раскрыть уравнение (6.197):

(6.199)

где W(t) = C(t)X(t).

Последнее равенство перепишем в виде

. (6.200)

Найдем

В результате имеем

(6.201)

Перепишем уравнение (6.201) с учетом (6.185) и M{N()W^T(t)} = 0 в виде

. (6.202)

Уравнение (6.202) перепишем в форме

. (6.203)

Используя выражение (6.194), получим

. (6.204)

Откуда имеем

, (6.205)

где R(t) = M{(t)^T(t)}.

Для определения матрицы R(t) вычислим производную R(t) по t:

, (6.206)

где

(6.207)

Подставив исходные составляющие в выражение , имеем

(6.208)

Математические ожидания, входящие в уравнение (6.208), имеют вид

(6.209)

или

. (6.210)

Аналогично можно получить, что

. (6.211)

Для математических ожиданий M{(t)V^T(t)} и M{V(t)^T(t)} имеем

(6.212)

и . (6.213)

В результате

(6.214)

С учетом формулы (6.205) перепишем уравнение (6.214):

. (6.215)

В частном случае стационарной устойчивой системы и стационарных белых шумов V(t) и N(t) уравнение (6.215) упрощается, поскольку .