Неравномерное движение по окружности.

Рис. 2.6.3.

Если при движении по окружности меняется не только направление, но и модуль скорости, то ускорение материальной точки a уже не будет направлено к центру O окружности, а представляется в виде суммы двух векторов (рис. 2.6.3): a = a_n + a_. (2.6.10)

Здесь вектор a_n – нормальное (центростремительное) ускорение, которое направлено к центру окружности и связано с изменением направления вектора скорости; a_ – тангенциальное (касательное) ускорение, которое направлено по касательной к окружности и связано с изменением модуля вектора скорости. Формула для вычисления тангенциального ускорений имеет вид:

. (2.6.11)

Угловое ускорение определяется формулой

. (2.6.12)

Используя формулы (2.6.5) и (2.6.12), получим связь между тангенциальным и угловым ускорениями: . (2.6.13)

В заключение, подведем итог и сопоставим в угловые и линейные величины, а также запишем уравнения движения (см. таблицы 1 и 2).

Таблица 1. Линейные и угловые величины.

Линейные величины	Единицы	Угловые величины	Единицы	Связь между линейными и угловыми величинами
Путь	м	Угловое перемещение	рад
Скорость	м/с	Угловая скорость	рад/с
Тангенциальное ускорение	м/с2	Угловое ускорение	рад/с2

Таблица 2. Уравнения поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение	Вращательное движение
Равномерное движение.	Равномерное вращение.
Равнопеременное движение.	Равнопеременное вращение.

§7. Движение по кривой.

Рис. 2.7.1.

Рассмотрим движение материальной точки по произвольной кривой. Для простоты, будем считать эту кривую плоской, все точки такой кривой лежат в одной плоскости.

Предположим, что в момент времени t материальная точка оказалась в точке M кривой (рис. 2.7.1). Возьмем два положения материальной точки  в момент времени tt (точка M₁) и момент времени t+t (точка M₂). Через три точки M₁, M и M₂ можно провести единственную окружность. На рис. 2.7.1 это окружность C₁. Уменьшим приращение времени t и через новые точки проведем окружность C₂. Дальнейшее уменьшение t приведет к последовательности окружностей . В курсе математического анализа доказывается, что у этой последовательности существует предел (окружность C на рис. 2.7.1).

Соприкасающейся окружностью в точке M плоской кривой называется предел последовательности окружностей, проходящих через три точки рассматриваемой кривой, одна из которых точка M, при неограниченном приближении двух других точек к точке M.

Центр соприкасающейся окружности и ее радиус называются соответственно центром кривизны и радиусом кривизны рассматриваемой кривой в точке M.

Пользуясь результатами предыдущего параграфа, можно найти ускорение в некоторой точке M криволинейной траектории.

a = a_n + a_., (2.7.1)

где  тангенциальное ускорение,  нормальное ускорение, R_M – радиус кривизны траектории в точке M.