I. Апериодический процесс

Расчет переходной величины i(t) разбиваем на два этапа. На первом этапе находим выражение для i(t) вследствие переключения напряжения u(t) от 0 до Е. На втором находи новое выражение для i(t) , которое является результатом переключения напряжения u(t) от величины Е до 0 в момент .

1. Первый этап. Находим принужденную составляющую тока i_пр.

В установившемся режиме в схеме действует напряжение u(t)=E=const, следовательно, и все токи постоянны.

Индуктивное сопротивление равно нулю , а емкостное - бесконечности . Поэтому расчетная схема имеет вид рис. 5.

.

2. Корни характеристического уравнения уже определены (см. (10)).

3. Записываем переходной ток i(t) в виде (1)

.

4. Дифференцируем это выражение

. (12)

5. Записываем i(t) и di/dt для t=0₊

(13)

6. При t<0 , в частности, при t=0_- u(t)=0, откуда i_L(0_-)=0, u_C(0_-)=0, а также

i(0_-)=0. Схема для расчета начального значения тока i(0₊) имеет вид рис. 6 (послекоммутационная схема).

По законам коммутации

i_L(0₊)=i_L(0_-)=0,

u_C(0₊)=u_C(0_-)=0.

Записываем уравнение по законам Кирхгофа

(14)

откуда ,

а также .

7. Находим . Для этого дифференцируем уравнение, записанное по 2-му закону Кирхгофа

.

Так как dE/dt=0, то

.

Производную напряжения u_C(t), легко определить через ток i_C(t). Исходя из того, что , имеем

.

При t=0₊:

.

8. Находим постоянные интегрирования, подставляя в систему (13) начальные значения i(0₊) и ,

откуда А₁=0,1567; А₂=-0,0067.

9. Записываем выражение для переходного тока

(16)

Второй этап. Определяем время окончания действия напряжения u(t)=E:

.

Вводим новую переменную . Тогда моменту переключения напряжения от значения Е до значения 0 соответствует t^/=0. Для определения переходной величины i(t^/) повторяем вычисления аналогичные предыдущим.

1^/. Так как u(t^/)=0 при t^/>0 , то i_пр(t^/)=0.

2^/. Корни характеристического уравнения остались без изменения, т.к. параметры схемы прежние.

3^/. Переходной ток при t^/>0 имеет вид

.

4^/. .

5^/.

6^/. Схема до вторичного переключения имеет вид рис. 7 (докумматационная схема).

Переходной ток (16) в момент принимает значения

.

Находим значения независимых величин i_L и u_C в момент t^/=0^/_- , составляя системы уравнений для схемы рис. 7,

(17)

В этой системе три неизвестных: i_L(0^/_-), u_C(0^/_-), i_C(0^/_-), поэтому требуется дополнительная связь для их однозначного определения. Находим эту связь, дифференцируя уравнение E=(R₃+R₂)i(t^/)+u_С(t^/), составленное по 2-му закону Кирхгофа:

. (18)

Величину вычисляем, пользуясь выражением (12):

Выражением du_C/dt^/ через ток i_C(t^/):

,

подставляем в (18) и получаем

.

Решаем систему (17):

По законам коммутации

i_L(0^/₊)=i_L(0^/_-)=0,1302 A,

u_C(0^/₊)=u_C(0^/_-)=4,62 B.

Схема для расчета начального значения переходной величины i(0^/₊) имеет вид рис. 8 (послекоммутационная схема).

По 2-му закону Кирхгофа

(R₃+R₂)i(0^/₊)+u_C(0^/₊)=0,

откуда .

7^/. По 1-му закону Кирхгофа

i_C(0^/₊)=i(0^/₊) - i_L(0^/₊)= - 0,0924- 0,1302= - 0,2226A.

Аналогично (15) получаем

.

8^/.

А^/₁=-0,0884 , А^/₂=-0,003996.

9^/.

График переходной величины, построенный по выражениям (16) и (19), приведен на рис. 9.