2. Изучение темы «Показательная функция» в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

• Обобщение понятия о степени;

• понятие о степени с иррациональным показателем;

• решение иррациональных уравнений и их систем;

• показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества: ; ;

• тождественные преобразования показательных выражений;

• решение показательных уравнений, неравенств и систем;

• понятие об обратной функции; функция, ее свойства и график;

Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной функцией и ее свойствами, научить решать несложные показательные уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).

Рассматриваются свойства и график показательной функции. Систематизация свойств указанной функции осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

3. Методика вивчення логарифмічної функції Вивчення логарифмічної функції починається з виділення визначення:

• функцію, задану формулою називають логарифмічною функцією з підставою .

Основні властивості виводиться із властивостей показовою функції:

1. , тому що при вирішенні рівняння , тобто будь-яке позитивне число має логарифм за основою . 2. , тому що за визначенням логарифма будь-якого дійсного числа справедливо рівність: , тобто функції виду приймає значення в точці . 3. Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (за a> 1) або зменшується (при 0 <a <1). Оскільки при a> 1 функція зростає, то логарифмічна функція позитивна при x> 1 і негативна для 0 <x <1 (для заснування 0 <a <1 - навпаки). На підставі розглянутих властивостей будується графік цієї функції.

Основна мета - привести в систему і узагальнити наявні в учнів відомості про логарифмічну функцію та її властивості, навчити вирішувати нескладні логарифмічні рівняння, їх системи. Розглядаються властивості і графіки логарифмічної функції. Систематизація властивостей зазначеної функції здійснюється відповідно до прийнятої схеми дослідження функцій. Достатня увага повинна бути приділена роботі з логарифмічними тотожністю: тотожні перетворення логарифмічних виразів застосовуються як при викладі теоретичних питань курсу (наприклад, при виведенні формули похідної показовою функції), так і при виконанні різного роду вправ, наприклад, рішення логарифмічних рівнянь і

нерівностей.

4 Лінія рівнянь і нерівностей розвивається під час вивчення у 10 класі тригонометричних, а в 11 класі - ірраціональних, показникових і логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.

5. Методика вивчення поняття похідної класах старшої школи

Для рівня стандарту поняття похідну можна вводити так:

– Розглянути приріст аргументу та відповідний приріст функції (вчителю варто застосовувати при цьому принцип наочності для кращого сприйняття та усвідомлення понять);

– Розглянути їх відношення, границю відношення;

– Дати означення похідної.

Для академічного рівня потрібно розглянути одну з задач, що приводять до поняття похідної. Перевагу слід віддати задачі про миттєву швидкість, оскільки з нею учні вже ознайомились з курсу фізики, а на цьому етапі навчання доцільно оформити її розв’язання в термінах і символах математичного аналізу (приріст аргументна, приріст функції, границя функції), з якими учнів слід познайомити ще до вивчення теми похідної. При цьому в процесі розв’язування потрібно чітко назвати три кроки, які розкривають зміст похідної, та зауважити, що її доцільно виконувати надалі під час виведення формул і доведення основних теорем про похідну. Після розгляду задачі в загальному випадку розв’язується задача в конкретному випадку.

Для профільного та поглиблених рівнів вивчення математики потрібно розглянути ще одну задачу, яка приводить до поняття похідної. Це задача про дотичну до графіка функції. Для профільного, поглибленого та академічного рівнів доцільно дати алгоритм знаходження похідної функції :

1. Знайти приріст функції, який відповідає приросту аргументу;

2. Скласти відношення

3. Обчислити границю .

На наступних уроках розглядається похідні елементарних функцій. Для рівня стандарту одразу дається таблиця, для академічного можна розглянути декілька прикладів на знаходження похідної елементарної функції за означенням, а потім скласти таблицю, а для поглибленого та профільного знаходять всі похідні елементарних функцій.

Далі вивчаються властивості похідної, тобто теореми про похідну суми, добутку і частки функції. Під час вивчення теми «Похідна складеної функція» доводиться відповідна теорема і знаходять похідну від показникової, логарифмічної функцій для класів академічного, профільного та поглиблених рівнів вивчення математики.

6. Застосування похідної до досліджування властивостей функції.

Однією із основних задач математики є дослідження функції. Використання похідної значно полегшує задачу дослідження функції, а разом з тим і побудову її графіків.

У шкільному курсі алгебри і початків аналізу за 11клас на всіх програмних рівнях навчання потрібно ознайомити учнів з досліджуванням функції на:

1. монотонність;

2. екстремум;

3. досягнення найбільшого і найменшого значень.

В класах профільного і поглибленого рівнів досліджують функцію також на

4. угнутість та опуклість;

5. точки перегину.

Для знаходження проміжків монотонності функції корисно учням дати такий алгоритм:

1. Знайдіть область визначення функції та точки розриву;

2. Знайдіть похідну даної функції

3. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує та розбити на інтервали.

4. Визначить знак похідної на кожному із інтервалів. Для цього достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

5. В інтервалі, де похідна > 0 , функція зростає і відповідно, в інтервалі, де похідна < 0 функція спадає.

Цей алгоритм доцільно запропонувати учням на всіх програмних рівнях і за цим алгоритмом розглянути декілька прикладів з підвищенням рівнем складності.

Далі розглядається дослідження функції на екстремум. Перед цим, слід провести з учнями бесіду, потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе функція, коли f((x) при переході через деяку точку х 0 змінює свій знак. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “–” (спочатку функція зростала, а при переході через точку х0 почала спадати), то х0 – є точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції. Інакше, якщо при переході через точку х0 похідна змінила свій знак з “–” на “+”, то х0 – є точкою мінімуму, а значення функції в цій точці – мінімумом функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.

Формулюється необхідна умова екстремуму (теорема Ферма) для класів академічного, профільного та поглиблених рівнів.

Для розв’язування вправ на знаходження точок екстремуму функції стане в пригоді алгоритмічний підхід.

Для того, щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:

1. Знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну , розв’язати отримане рівняння і приєднати до коренів рівняння , точки в яких похідна не існує.

2. Розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання;

3. Дослідити знак похідної спочатку ліворуч, а потім праворуч від кожної критичної точки. Якщо з переходом через критичну точку похідна змінює свій знак з «+» на «–», то в цій критичній точці функція має максимум; якщо знак змінюється з «–» на «+»,то в цій точці функція має мінімум. Якщо з переходом через критичну точку похідна не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

4. Обчислити максимуми та мінімуми функції, підставивши в формулу функції значення точок максимуму та мінімуму

Далі учні вчаться знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізках. На профільному та поглибленому рівні слід відмітити такий теоретичний матеріал та пояснити його учням, використовуючи наочність.

Обчислюючи найбільше й найменше значення можна використовувати такий алгоритм:

1. Знайдіть критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2. Знайдіть значення функції на кінцях відрізка.

3. Серед усіх значень виберіть найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень на кінцях відрізка.

У класах з профільним та поглибленим рівнями вивчення математики досліджують ще функцію на інтервали опуклості та угнутості. При введенні понять потрібно користуватися наочністю, дати теореми з доведенням та запропонувати такий алгоритм:

1. Знайти область визначення функції;

2. Знайти другу похідну і точки, при яких вона =0 або не існує;

3. Дослідити знак 2-гої похідної при переході через ці точки.

4. Скористатися теоремою про достатню умову угнутості та опуклості функції і зробити висновки .

7. Вивчення початків інтегрального числення починається із вве­дення поняття первісної. Темін «невизначений інтеграл» і відпо­відний сивмол f(x)dx не вводиться. За браком часу не передбачено вивчати спеціальні прийоми знаходження первісної і визначеного інтеграла (інтегрування частинами, заміна змінної, тощо). Роз­глядаються лише такі функції, первісні яких можна безпо­середньо знайти за таблицею похідних. Зауважимо, що метою вивчення початків інтегрального числення в школі є ознайомлення учнів з його основними ідеями і застосуван­нями . На позакласних заняттях можна глибше вивчити інтегральне числення, показати різні його застосування в фізиці та геометрії, обгрунтувати, зокрема, принцип Кавальєрі, вивести формулу Сімпсона. Тут цілком можливо дати учням інше тлумачення інтеграла і розглянути матеріал навчального посібника, який не є обов'яз­ковим для всіх учнів. Під час підготовки до вивчення первісної і визначеного інтеграла треба повторити з учнями поняття границі та неперервності функ­ції, а також таблицю похідних.

8. Декартові координати у просторі

Вивчаються в 10 кл. Крім взаємно перпендикулярних осей х та у вводиться вісь z. Точка має вже три координати (х;у;z). Формули які використовувалися в декартових координатах на площині застосовуються й тут, але додається ще параметр z.

Формули заново не виводяться, а говорять що по аналогії. При введені декартових координат у просторі треба учням нагадати відомості про координати точок на прямій і площині.

9. Методика изучения темы "Векторы" (в пространстве). Понятие вектор- одно из фундаментальных, это элемент векторного пространства . Вектор вводят как исходное понятие, под ним понимают объекты, удовлетворяющие аксиомам векторного пространства :

• 1гр - (А сложения) каждым 2-м в-рам поставлен в соответствие 3-й в-р, называемый суммой данных в-ров.

1) каковы бы ни были в-ры а и в имеет место равенство: а+в=в+а;

2)каковы бы ни были в-ры а, в и с имеет место равенство: (а+в)+с=а+(в+с);

3) существует в-р р, удовлетворяющий условию: а(а+р=а);

4) для каждого в-ра существует в-р а, удовлетворяющий условию: а+а=р.

• 2гр - (А умножения) каждому в-ру и каждому числу поставлен в соответствие в-р, называемый произведением данного в-ра на данное число.

1)а:(1*а=а);

2)каковы бы нибыли числа  и  и в-р а : (а)=()а;

3)каково бы ни было число  и каковы бы ни были в-ры а и в выполняется условие (а+в)=а+в.вектор вводят как направленный отрезок(модель в-ра).

Формули ті ж самі, що і для площини, тільки додається третя координата по z

10.

Предмет стереометрия. Рассматриваются простейшие фигуры стереометрии и их обозначения: точка (А), прямая (АВ или а), плоскость (АВС) или ∝. Выясняются приёмы изображения плоскости (параллелограмм, «разорванный» параллелограмм, «лужа») Повторяются основные обозначения в геометрии: Ø, Є,∩, ∪, ⊂, ⊄ и др. Вводятся понятия: оригинал и изображение. Проводится практическая работа (фронтальная) в результате которой выясняется, что если имеется: Точка, прямая, отрезок, угол, треугольник (равносторонний, равнобедренный, разносторонний, остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), четырёхугольник (параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция), то изображением будет соответственно: точка, прямая, отрезок, угол, треугольник (произвольный),при проектировании параллелограмма, квадрата, ромба, прямоугольника изображением будет параллелограмм, при проектировании трапеции изображением будет трапеция. Проводится обобщение: при параллельном проектировании сохраняется параллельность и отношения отрезков.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Закрепляются навыки построения стереометрических чертежей.

Стереометрия – систематическая обобщающая роль по отношению к планиметрии. Погорелов: общность планиметрии и стереометрии: единая система аксиом. Развитие логического мышления, выработка пространственных представлений.

Цель: ознакомление уч-ся с прикладным аппаратом и приложением классической и современной геометрии. Стереометрия изучает св-во фигур в пространстве, знакомит с примерами пространственных фигур.

Основными фигурами в пространстве являются точка прямая и плоскость.

Св-во как аксиомы:

• С1: какова бы ни была плоскость  точки принадлежащие этой пл-ти и точки не принадлежащие ей (свойство прямых и точек 7 класс).

• С2: если две различные плоскости имеют общую точку то они пересекаются по прямой.

• С3: если две различные плоскости имеют общую точку то через них можно провести плоскость и притом только одну (задание). Аксиомы стереометрии сравнивают с аксиомами планиметрии.

Следствия из аксиом излагают как задачи, пути решения находят в ходе беседы

11. Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии. До перших уроків стереометрії належать ті, що стосуються першої теми курсу - «Аксіоми стереометрії, їх найпростіші наслідки». Слід мати на увазі, що під час вивчення перших тем стереометрії, а отже, вже на перших уроках, учні натрапляють на труднощі. Йдеться про труднощі, пов'язані передусім з недостатнім розвитком в учнів просторових уявлень й уяви, значною абстрактністю навчального матеріалу порів­няно з планіметричним, перевантаженістю теоремами, зокрема дріб­ними, наявністю багатьох аналогій і відмінностей між відповідними поняттями та твердженнями планіметрії й стереометрії. З метою зменшення перших труднощів учитель має використову­вати наочність, зокрема стереометричний ящик або сучасні його мо­дифікації. Зменшити труднощі щодо абстрактності навчального мате­ріалу можна, якщо вчитель конкретизує означення, аксіоми й теореми різноманітними застосуваннями їх у навколишньому житті та техніці. Перевантаженість теоремами та їх доведеннями вчитель може змен­шити, якщо зосередить увагу учнів на основних твердженнях, які бу­дуть часто потрібні надалі. Щодо аналогій і відмінностей у навчальному матеріалі планіметрії та стереометрії, то вчитель має скористатися тими аналогіями, які дають змогу учням краще усвідомити й запам'ятати факти зі стереометрії, та застерегти їх від тих аналогій, які можуть призвести до помилок. Основна мета вивчення першої теми полягає у повторенні аксіом планіметрії та засвоєнні учнями аксіом стереометрії. Учні мають зна­ти аксіоми стереометрії, основні наслідки з них, уміти застосовувати їх до розв'язування задач. Як і на перших уроках планіметрії, вимога все доводити з посиланням на аксіоми і доведені раніше теореми є обов’язковою.

12 Методика вивчення паралельності прямих і площин . Зміст матеріалу: визначення паралельних і перехресних прямих у просторі, теорема про існування та єдність прямої, що проходить через дану точку паралельно даній прямій, транзитивність паралельності прямих, паралельність прямої і площини (визначення та ознака), паралельність площин (визначення та ознака), зображення просторових фігур на площині. Поряд зі звичайними цілями навчання геометрії тут велику роль відіграє мета формування в учнів просторового уявлення і уяви. Методика вивчення визначення паралельних і перехресних прямих побудована за допомогою логічної операції заперечення: "Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються". "Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються перехресними". Точний зміст понять: "прямі не перетинаються", "прямі не лежать в одній площині" може бути отриманий за допомогою операції заперечення понять "прямі перетинаються", "прямі лежать в одній площині". Методична схема вивчення паралельних і перехресних прямих у просторі 1. Повідомити визначення; 2. Проілюструвати ці поняття на моделі куба, класній кімнаті, малюнку; 3. Провести логічний аналіз формулювання визначення; 4. Виконати завдання на знаходження паралельних і перехресних прямих на моделі (малюнку) куба; 5. Супроводити показ паралельних і перехресних прямих відповідними обгрунтуваннями.

Для полегшення логічного аналізу визначень і побудови заперечення корисно на дошці виконати такі записи: 1. Прямі a і b перетинаються: мають спільну точку, і притому тільки одну; 2. Прямі a і b не перетинаються: не мають спільних точок або спільних точок більше однієї.

Поняття паралельного проектування вводиться за допомогою генетичного визначення. Відповідно до загальної особливістю генетичних визначень використовується методична схема вивчення паралельного проектування: · Одночасно проговорити визначення і провести побудови (виконується вчителем); · Одночасно проговорити визначення та показати відповідні побудови на готовому малюнку (виконується учнем); стерти наявний на дошці малюнок; · Одночасно проговорити визначення і виконати новий малюнок (виконується учнем).

Методику вивчення теорем і їх доказів розглянемо на прикладі ознаки паралельності прямої і площини: "Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна який-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самої площині". Методична схема: 1) підвести учнів до теореми, сформулювати її; 2) виконати малюнок, коротку запис теореми; 3) повідомляти загальну ідею теореми; 4) привести план докази; 5) надати учням можливість самостійно здійснити док-во; 6) здійснити доказ (учень); 7) закріпити доказ шляхом його відтворення; 8) застосувати теорему до вирішення завдань.

13. Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини Зміст: визначення: перпендикулярних прямих, перпендикулярних прямої і площини, перпендикуляра до площини, відстань від точки до площини, похилої, прямокутної проекції похилій, перпендикулярних площин, теореми про перпендикулярних прямих, ознака перпендикулярності прямої і площини, теорем про зв'язок між паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, теорема про три перпендикуляри, теорема про перпендикулярних площинах.

Оскільки в підручнику Погорєлова не вводиться поняття про перпендикулярних перехресних прямих то: пряма а, перетинає площину a, називається перпендикулярної до площини a, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в площині a, що проходить через точку перетину прямої а з площиною a. Ознака перпендикулярності: Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна до двом прямим у цій площині, то вона перпендикулярна до площини. Сформулювати цю теорему учні зможуть самі, використовуючи наведену вище завдання (наприклад, ребро А ₁ D ₁ перпендикулярно до площини DD ₁ C ₁ => А ₁ D ₁ ^ DD ₁ і А ₁ D ₁ ^ D ₁ З ₁ тобто двом прямим лежачим в цій площині). Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини 1) підвести учнів до ознаки, сформулювати його; 2) виконати малюнок, коротку запис теореми; 3) повідомляти загальну ідею доведення теореми; 4) виконати доп. побудови; 5) повідомляти ідею доказу теореми в більш конкретній формі; 6) привести план докази; 7) викласти доказ; 8) закріпити доказ по частинах; 9) відтворення докази повністю;