1.2. Системы координат

Системы координат, применяемые в геодезии, можно разделить на две группы: прямолинейная прямоугольная (двухмерная - на плоскости, трехмерная – в пространстве); полярная (двухмерная - на плоскости, на поверхности шара или эллипсоида, трехмерная – в пространстве).

Систему координат, связанную с центром масс Земли, называют геоцентрической (квазигеоцентрической) системой. В частном случае координаты, связанные с общим земным эллипсоидом, будут геоцентрическими, а координаты, связанные с референц-эллипсоидом, - квазигеоцентрическими.

Систему координат, начало которой совпадает с точкой наблюдения на земной поверхности или в околоземном пространстве называют топоцентрической системой координат. Системы координат подразделяют на горизонтную, если за основную плоскость принята плоскость горизонта наблюдателя; и на экваториальную, если за основную плоскость принята плоскость земного экватора.

В геоцентрической экваториальной системе оси координат задают по отношению характерных точек земной поверхности или небесной сферы. На рис. 2 ось Z(z) направлена на северный полюс Земли. Если при этом ось X направлена в точку Гринвича G_e (в точку пересечения гринвичского меридиана с экватором), то получим земную систему координат XYZ, которая участвует в суточном вращении Земли, оставаясь неподвижной относительно точек земной поверхности. Эта система координат удобна для определения положения точек земной поверхности и изучения фигуры Земли.

Направляя ось х (см. рис. 2) в точку весеннего равноденствия Y, получаем звездную систему координат хyz, не связанную с суточным вращением Земли, удобную для изучения движения небесных тел.

Рис.2. Геоцентрические звездная и земная системы координат

Положение точек земной поверхности относительно земного эллипсоида определяют геодезическими широтой B, долготой L и высотой Н (рис. 3).

Рис.3. Эллипсоидальные координаты

Геодезической широтой точки Q называют острый угол В, образованный нормалью Qn к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора EG_eE'. Геодезической долготой L точки Q называют двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана PG_eP' и плоскостью геодезического меридиана PQ₀P' данной точки. Плоскость геодезического меридиана точки Q проходит через нормаль Qn и ось вращения эллипсоида POP'. Широты точек северного полушария называют северными, они имеют знак «+», широты точек южного полушария - южными, и они имеют знак «-». Точки, расположенные восточнее начального меридиана, имеют восточные долготы, а точки, расположенные западнее начального меридиана, - западные долготы. Отрезок нормали Q₀Q называеют геодезической высотой Н. Геодезическая высота отсчитывается от поверхности эллипсоида в сторону увеличения высот. Если точка расположена ниже поверхности эллипсоида, то ее высоте приписывается знак минус.

Геодезические координаты В, L, H принято называть пространственными эллипсоидальиыми координатами.

Системы координат пространственные прямолинейные прямоугольные (X, Y, Z) и эллипсоидальные (В, L, Н) координаты, а также плоские координаты (х, y) представляют систему геодезических координат.

Система геодезических координат находит широкое применение в теоретических исследованиях и практических работах в геодезии, топографии и картографии, так как она объединяет в единую систему данные геодезии, топографических съемок и картографирования по всей поверхности Земли.

К сферическим координатам относят астрономические широту φ и долготу λ, связанные с отвесной линией. Астрономическую широту φ определяют как острый угол между отвесной линией точки Q и экватором Земли. Астрономическая долгота λ есть двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью астрономического меридиана точки Q. При этом плоскость астрономического меридиана содержит линию отвеса точки Q и ось вращения Земли. Способы отсчета астрономических широт и долгот подобны способам отсчета геодезических широт и долгот.

Как видно из определения геодезических и астрономических широт и долгот, между ними имеются существенные различия, которым в геодезических работах уделяется самое большое внимание. Кроме того, эти отличия, зависящие от фигуры Земли и земного эллипсоида, от его ориентировки в теле Земли, являются особым предметом изучения геодезии.

В мелкомасштабном картографировании и в особых условиях выполнения геодезических работ, где не требуется высокая точность, отличиями геодезических и астрономических координат пренебрегают. В этом случае им дают общее название - географические координаты.

Системы плоских координат. На ограниченных участках земной поверхности, которые можно считать плоскими, применяют систему плоских координат. В топографии она отличается от принятых в математике декартовых координат на плоскости: вертикальная ось (направление меридиана) служит осью абсцисс (ось X), горизонтальная - осью ординат (ось Y).

Чтобы построить систему плоских координат и создать картографическое изображение на значительную территорию, необходимо поверхность референц-эллипсоида развернуть на плоскости. Способы перехода от поверхности относимости к плоскости называют картографическими проекциями (КП). Среди множества КП при выполнении топографических и геодезических работ применяют поперечно-цилиндрические проекции Гаусса-Крюгера и Меркатора.

Геометрическая сущность данных проекций состоит в следующем. Воображаемый цилиндр, на который происходит проектирование (рис. 4), охватывает земной эллипсоид сегментами 60-ти зон шириной 6° (или 120 зон шириной 3°). Зоны нумеруют с запада на восток, начиная с Гринвичского меридиана, имеющего долготу 0^о. Зона 1 простирается от меридиана 0° до меридиана 6°, ее осевой (центральный) меридиан имеет долготу 3°. Зона 2 - с 6° до 12°, и т.д.

Рис.4. Картографическое проектирование

В проекции Гаусса-Крюгера цилиндр касается эллипсоида по центральному меридиану, масштаб вдоль него равен 1 (рис. 5).

Рис.5. Проекция Гаусса-Крюгера

В проекции Меркатора (UTM) проектирование выполняют на секущий цилиндр. Масштаб равен единице вдоль двух секущих линий, отстоящих от центрального меридиана примерно на 180 км (рис. 6), по центральному меридиану масштаб равен 0,9996. В национальных СК масштаб может принимать другое, более удобное для территории значение.

Рис.6. Проекция Меркатора

Цилиндр разворачивают в плоскость и накладывают на пего прямоугольную километровую сетку с началом координат в точке пересечения экватора и центрального меридиана (рис. 7). Вертикальные линии сетки параллельны центральному меридиану.

Для территории России все абсциссы имеют только положительное значение. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, условились прибавлять к ординатам 500000 м и пред ними указывать номер зоны. В системе трехгранных зон их осевые меридианы расположены через 3⁰ по долготе и совпадают с граничными и осевыми меридианами шестиградусных зон.

Рис.7. Прямоугольная сетка

В проекции Гаусса-Крюгера поверхность шести- или трехгранной зоны изображается с заметным искажением, поэтому для каждого направления, редуцированного на поверхность эллипсоида, должна быть определена поправка, представляющая собой малый угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой, соединяющей конечные точки кривой. Эту поправку называют поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости (редукция направлений).

Для направлений в триангуляции 3 класса и ниже используют следующую формулу для вычисления редукции направлений

,

где в сетях триангуляции 3 класса и ниже может быть принят равным 0,00253; - средняя ордината, полученная по непреведенным ординатам точек 1 и 2.

Искажение длин на краю шестиградусной зоныможет достигать 1/2000 – 1/5000, поэтому в масштабах 1:50000 и мельче эти искажения во взаимном положении точек будут незначительны. При крупномасштабных съемках в пределах небольших участков даже при небольших расстояних (20-50 км) от осевого меридиана, проектирование объектов по карте или перенсение проекта в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров искажения, поэтому наиболле просто в такого вида работах использовать трехградусные зоны, где искажения длин не превышают 1/5000.

В геодезических сетях 3 класса и ниже поправку в расстояния при перенеосе его с эллипсоида на плоскость (редукция расстояния) вычисляют по формуле

,

тогда расстояние на плоскости Д будет равно .

Следует заметить, что редукция расстояний всегда положительна, т.е. расстояние на плоскости всегда больше расстояния на эллипсоиде.

Местные системы координат. Кроме этих систем могут использоваться местные системы координат. Необходимость их введения связана с тем, что при съемках городов и участков территорий, отводимых под строительство крупных инженерных сооружений, требуется уменьшить величины линейных искажений. Плоские прямоугольные координаты в местных системах вычисляют в проекции Гаусса-Крюгера с местными координатными сетками (со своим осевым меридианом и своими размерами зоны по долготе). Поэтому, например, система СК-63, хотя и получена на основе общегосударственной системы, но, поскольку ее сетка сдвинута и развернута по отношению к стандартной, то ее также следует рассматривать как местную. Порядок введения местных систем устанавливают министерства и ведомства по согласованию с органами Государственного геодезического надзора. Во всех случаях после завершения работ координаты пунктов должны быть пересчитаны в государственную референцную систему.

Пользователям космических навигационных систем (КНС) ГЛОНАСС и NAVSTAR необходимо использовать международные системы координат, к которым относят системы геодезических параметров «Параметры Земли» (ПЗ-90) и «Мировая геодезическая система» (МГС (WGS-84)).

Система ПЗ включает в себя: фундаментальные геодезические постоянные, параметры общеземного эллипсоида (ОЗЭ), систему координат ПЗ, закрепляемую координатами пунктов космической геодезической сети, характеристики модели гравитационного поля Земли (ГПЗ) и элементы трансформирования между системой координат ПЗ и национальными референцными системами России.

Теоретическое определение системы координат ПЗ основывается на следующих положениях:

а) начало системы координат расположено в центре масс Земли;

б) ось Z направлена в Международное условное начало;

в) ось X лежит в плоскости начального астрономического меридиана, установленного Международным бюро времени;

г) ось Y дополняет систему до правой.

Положения точек в системе ПЗ могут быть получены в виде пространственных прямоугольных или геодезических координат.

Геодезические координаты относятся к ОЗЭ, размеры которого определяются значениями большой полуоси а_ПЗ = 6378136 м и сжатия α_ПЗ = 1/298,25784.

Центр ОЗЭ совпадает с началом системы координат ПЗ, ось вращения эллипсоида - с осью Z, а плоскость начального меридиана - с плоскостью ХОZ.

Система параметров МГС (WGS-84) включает в себя: фундаментальные геодезические постоянные, систему координат МГС, закрепляемую координатами пунктов космической геодезической сети, параметры ОЗЭ, характеристики модели ГПЗ, элементы трансформирования между геоцентрической системой координат МГС и различными национальными системами координат.

Теоретическое определение системы координат МГС основывается на положениях, аналогичных определению системы координат ПЗ.

Положения точек в системе МГС могут быть получены в виде пространственных прямоугольных или геодезических координат.

Геодезические координаты относятся к ОЗЭ, размеры которого определяются значениями большой полуоси а_МГС = 6378137 м и сжатия α_МГС = 1/298,257223563.

Центр эллипсоида совпадает с началом системы координат МГС, ось вращения эллипсоида совпадает с осью Z, а плоскость начального меридиана - с плоскостью XOZ.

Координатная основа Российской Федерации представлена референцной системой координат, реализованной в виде ГГС, закрепляющей систему координат на территории страны, и государственной нивелирной сетью, распространяющей на всю территорию страны систему нормальных высот (Балтийская система), исходным началом которой является нуль Кронштадтского футштока. Положения определяемых точек относительно координатной основы могут быть получены в виде пространственных прямоугольных или геодезических координат либо в виде плоских прямоугольных координат и высот.

За отсчетную поверхность в референцной системе координат РФ принят эллипсоид Красовского с большой полуосью а_Кр = 6378245 м и сжатием α_Кр = 1/298,3.

Центр эллипсоида Красовского совпадает с началом референцной системы координат, ось вращения эллипсоида параллельна оси вращения Земли, а плоскость нулевого меридиана определяет положение начала счета долгот.

В практике производства высокоточных и инженерных работ возникает необходимость преобразования координат определяемых точек из одной системы в другую.

К таким задачам относят:

- преобразование геодезических (эллипсоидальных) координат в прямоугольные (референцные) координаты и обратно;

- преобразование координат из ПЗ-90 в систему МГС и обратно;

- преобразование из систем геодезических параметров (ПЗ, МГС) в референцную систему координат Российской Федерации;

- преобразование из местных систем координат в референцную систему координат Российской Федерации и обратно.

Спутниковые системы определяют прямоугольные координаты в общеземных системах NAVSTAR (GPS) – в системе координат WGS-84, ГЛОНАСС – в ПЗ-90. В связи с этим возникает задача пересчета (преобразования или трансформирования) координат в систему координат СК-42, СК-65, СК-95, которые используют в России, или в местную систему, которую часто используют в инженерной геодезии.

Для того, чтобы выполнить преобразование координат, необходимо определить параметры преобразования, к которым относят:

- координаты смещения начала двух систем координат , и ;

- углы разворота осей координат , и ;

- масштабный коэффициент , он используется лишь в тех случаях, когда точность определения масштабного коэффициента достаточно высока (при большом числе избыточных измерений).

Пересчет координат из одной системы в другую выполняют, используя формулы

;

;

.

Для того, чтобы определить параметры преобразования координат, необходимо иметь несколько пунктов (по крайней мере, три-четыре), координаты которых известны в обеих системах координат. В таком случае можно вычислить разности координат одноименных пунктов

;

;

.

При наличии избыточных измерений параметры преобразований находят, используя целевую функцию

.

Эту операцию нельзя считать идеально точной, так как для вычисления пространственных координат X, Y, Z по эллипсоидальным геодезическим координатам В, L, Н необходимо знать аномалию высот , чтобы перейти от нормальной высоты к геодезической высоте, т.е.

.

В настоящее время разработаны программные комплексы, позволяющие выполнить преобразование координат из одной системы в другую (например, ТРАНСКОР 1.1 «Трансформация геоцентрических, геодезических и прямоугольных координат, определение параметров трансформации» программного комплекса CREDO).