1) Линейными по y

2) Несмещенными

3) Эффективными

оценками параметров , α β

• Матричное представление.

- Тест Вайта:

1. тестируемая гипотеза

2. формула для расчета критической статистики

Имеет асимптотическое распределение с количеством степеней свободы, равным количеству регрессоров в уравнении за вычетом константы.

Схема проведения теста:

1. Оценить модель и получить остатки;

2. Оценить модель для теста

3. Рассчитать статистику . Если , то принимается.

• Проблема гетероскедастичности модели.

- определение

- Тест Голдфелда-Кванта:

1. тестируемая гипотеза

2. формула для расчета критической статистики

(имеет распределение Фишера)

3. возможные способы корректировки модели (взвешенный МНК)

Уравнение при

модельприметвид:

• можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i –го наблюдения, на ;

• дисперсия остатков будет теперь величиной постоянной, т. е. ;

• от регрессии y по x мы перейдем к регрессии на новых переменных: и .

Уравнение регрессии примет вид: , а исходные данные будут иметь вид:

• переменные y и x взяты с весами ;

• 

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

4. пример

Пусть y – издержки производства,

x₁– объем продукции,

x ₂– основные производственные фонды,

x₃– численность работников, тогда уравнение

модель издержек производства с объемными факторами.

Предположим, что пропорциональна квадрату численности работников x₃,

- затраты на одного работника,

- производительность труда

- фондовооруженность труда.

Коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание:

• были - среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу,

• стали - среднее изменение затрат на работника; с изменением производительности труда на единицу при неизменном уровне фовдовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.

• Проблема автокорреляции остатков модели.

- Последствия автокорреляции при ис­пользовании модели.

1. - оценка будет несмещенная (это хорошо!);

- оценка может быть несостоятельна;

- неэффективная оценка.

2. - смещенная оценка.

Проверка гипотез о значимости отдельных коэффициентов и модели в целом – некорректна.

• Тест Дарбина-Уотсона

Тестируется гипотеза

Схема проведения теста:

1. Оценить модель и получить остатки ;

2. Рассчитать статистику

3. Если верна нулевая гипотеза, то статистика Durbin-Watson имеет распределение Durbin-Watson. Аналитической формулы распределения нет, однако есть предельное распределение, которое позволяет строить критические области.

- Тест Дарбина-Уотсона.

Тестируется гипотеза

Схема проведения теста:

1. Оценить модель и получить остатки ;

2. Рассчитать статистику

3. Если верна нулевая гипотеза, то статистика Durbin-Watson имеет распределение Durbin-Watson. Аналитической формулы распределения нет, однако есть предельное распределение, которое позволяет строить критические области.

- Тест Дарбина

Тестируется гипотеза

Если верна нулевая гипотеза H₀, то статистика h имеет асимптотическое стандартное нормальное распределение:

Схема проведения теста:

1. Оценить модель.

2. Рассчитать статистику

где - дисперсия коэффициента γ,

3. Рассчитать критическое значение h^крит.

4. Если не отвергается.

- Методы устранения автокорреляции.

Одним из наиболее распространенных способов регулирования временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Этот способ называется аналитическим выравниванием временного ряда. Существует 3 основные метода аналитического выравнивания(выделение тренда):1)МНК2)метод скользящей средней3)метод экспоненциального сглаживания. После выделения тренда и проведения его анализов необходимо соединить составляющую процесса.

• Проблема наличия мультиколлинеарности модели. Последствия. Обнаружение. Методы устранения.

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон.

!Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

- затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

- оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Чем det|R| ближе к нулю, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. !Существует несколько признаков, по которым может быть установлено наличие мультиколлинеарности.

1. Совокупный коэффициент множественной детерминации (R²) достаточно вы­сок, но некоторые из коэффициентов регрессии статистически незначимы, то есть они имеют низ­кие t-статистики.

2. Парная корреляция между малозначимыми объясняющими переменными достаточно высока (в случае двух объясняющих переменных).

3. Высокие частные коэффициенты корреляции (в случае большего количества малозначимых объясняющих переменных).

!Методы устранения мультиколлинеарности.

Рассмотрим ос­новные методы.

1. Исключение переменной(ых) из модели. Простейшим методом устранения мультиколлинеарности является ис­ключение из модели одной или ряда коррелированных переменных.

Однако в этой ситуации возможны ошибки специфика­ции. Например, при исследовании спроса на некоторое благо в качестве объясняющих переменных можно исполь­зовать цену данного блага и цены заменителей данного блага, которые зачастую коррелируют друг с другом.

Исключив из модели цены заменителей, скорее всего, будет допущена ошибка спецификации. Вследствие это­го можно получить смещенные оценки и сделать необос­нованные выводы. Поэтому в прикладных эконометрических моделях желательно не исключать объясняющие переменные до тех пор, пока коллинеарность не станет серьезной проблемой.

2. Получение дополнительных данных или новой вы­борки. Поскольку мультиколлинеарность напрямую за­висит от выборки, то, возможно, при другой выборке мультиколлинеарности не будет, либо она не будет столь серьезной.

Иногда для уменьшения мультиколлинеарности дос­таточно увеличить объем выборки. Увеличение количе­ства данных сокращает дисперсии коэффициентов рег­рессии и, тем самым, увеличивает их статистическую зна­чимость.

Однако получение новой выборки или расширение ста­рой не всегда возможно или связано с серьезными издер­жками.

3. Изменение спецификации модели. В ряде случаев про­блема мультиколлинеарности может быть решена путем изменения спецификации модели: либо изменяется фор­ма модели, либо добавляются объясняющие переменные, не учтенные в первоначальной модели, но существенно влияющие на зависимую переменную.

Если данный метод имеет основания, то его использо­вание уменьшает сумму квадратов отклонений, тем самым, сокращая стандартную ошибку регрессии. Это приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов.

4. Использование предварительной информации о некото­рых параметрах. Иногда при построении модели множе­ственной регрессии можно воспользоваться предваритель­ной информацией, в частности известными значениями некоторых коэффициентов регрессии. Вполне вероятно, что значения коэффициентов, рассчитанные для каких-либо предварительных (обычно более простых) моделей либо для аналогичной модели по ранее полученной выборке, могут быть использованы для разрабатываемой в данный момент модели.

Ограниченность использования данного метода обус­ловлена тем, что, во-первых, получение предварительной информации зачастую затруднительно, а, во-вторых, ве­роятность того, что выделенный коэффициент регрессии будет одним и тем же для различных моделей, невысока.

Преобразование переменных. В ряде случаев миними­зировать либо вообще устранить проблему мультиколли­неарности можно с помощью преобразования переменных.

Например, пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет следующий вид:

При этом х₁ и х₂ – это коррелированные переменные.

В этой ситуации можно попытаться определять следующие рег­рессионные зависимости относительных величин:

Вполне вероятно, что в этих моделях проблема муль­тиколлинеарности будет отсутствовать. Возможны и дру­гие преобразования, близкие по своей сути к опи­санным выше. Например, если в уравнении рассматриваются взаимосвязи номинальных экономических показателей, то для снижения мультиколлинеарности можно попытать­ся перейти к реальным показателям и т.п.