Линейная комбинация векторов:

Пусть задан набор (системна векторов): . Выражение вида , где -некоторые действительные числа (коэффициенты линейной комбинации), называют линейной комбинацией векторов.

Векторы называют линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , равная нулевому вектору, причем не все коэффициенты равны нулю, в противном случае векторы называют линейно независимыми (т.е. ).

Критерий линейной зависимости 2ух векторов:

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Док-во: 1) необходимость. Пусть два вектора а и b линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа и , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство . Пусть ради определенности, отлично от нуля число . Тогда из равенства (посредством деления этого равенства на и переброски одного члена в правую часть) получим следующее равенство: . Вводя обозначение , получим . Таким образом, вектор b равен произведению вектора a на вещественное число . По определению произведения вектора на число векторы a и b коллинеарны. Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть векторы a и b коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов a и b ненулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы (если хотя бы один из векторов является ненулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми). Таким образом, нам нужно рассмотреть лишь случай, когда векторы a и b ненулевые. Но если вектор a ненулевой, то из коллинеарности векторов a и b в силу теоремы (если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то существует вещественное число такое, что ) вытекает существование такого вещественного числа , что , или, что то же самое, . Так как из двух чисел , -1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство ( ) доказывает линейную зависимость векторов a и b. Достаточность доказана.

Следствия:

1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы.

2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:

1. Если хотя бы один из является нулевым, то эти векторы является линейно зависимыми.

Док-во: Пусть, ради определенности, является нулевым, а остальные векторы произвольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация указанных векторов с числами , одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Док-во: Пусть, ради определенности, линейно зависимы, а вектор произволен. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство: . Это равенство сохранится, если мы добавим в левую часть этого равенства равное нулю слагаемое , т.е. справедливо равенство . Так среди чисел , 0 хотя бы одно отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость . Теорема доказана.

3