1.3. Эмпирическая функция распределения, гистограмма

Поскольку неизвестное распределение можно описать, например, его функцией распределения , построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1.  

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке X₁,…,X_n объема n, называется случайная функция .

Иначе говоря, при любом y значение F(y), равное истинной вероятности случайной величине X быть меньше y, оценивается долей элементов выборки, не превосходящих y.

Если элементы выборкиX₁, ,X_n упорядочить по возрастанию, получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:

Здесь

Определение.

k-ый элемент вариационного ряда, k=1…n, называется k-й порядковой статистикой.

Пример 1.

Выборка: X=(0;2;1;2,6;3,1;4,6;1;4,6;6;2,6;6;7;9;9;2,6) Вариационный ряд:    (0;1;1;2;2,6;2,6;3,1;4,6;4,6;6;7;9;9)

По вариационному ряду удобно строить эмпирическую ф-цию распределения

Если Эмпирическая функция распределения является аналогом ф-ции распределения случайной величины, то эмпирическим аналогом таблицы распределения для дискретных величин или плотности для непрерывных является гистограмма.

Область выборочных данных делят независимо от выборки на некоторое число интервалов группировки . -число элементов выборки, попавших в j-ый интервал.

На каждом из интервалов строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть — длина интервала . Высота f_j прямоугольника над равна

Полученная фигура называется гистограммой.

Пример 2.

Имеется вариационный ряд (см. пример 1):

Разобьем отрезок [0;10]на 4 равных отрезка. В отрезок A₁=[0;2,5] попали 4 элемента выборки, в -6, в — 3, и в отрезок попали 2 элемента выборки. Строим гистограмму (рис. 2). На рис. 3 — тоже гистограмма для той же выборки, но при разбиении области на 5 равных отрезков.

Рис. 2.  Пример 2		Рис. 3.  Пример 2

Замечание 1.

Иногда утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки является

, т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Справедливо следующее утверждение:

Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при , имеет место поточечная сходимость по вероятности гистограммы к плотности.

Так что выбор логарифма не противоречит этому утверждению.

1.4. Выборочные моменты

Знание моментов распределения также многое может сказать о его виде и свойствах. Введем выборочные аналоги неизвестных истинных моментов распределения.

Пусть, ,— теоретические среднее, дисперсия, k-й момент. Мы уже знакомы с соответствующими характеристиками выборочного распределения, , .

Теоретические характеристики	Эмпирические характеристики
	— выборочное среднее
	— выборочная дисперсия либо несмещенная выборочная дисперсия
	— выборочный -й момент

Список числовых характеристик и их оценок можно продолжать, рассмотрев, например, центральные, абсолютные и т.п. моменты. В общем случае

момент  Mg(X)  будем оценивать величиной   .