3.Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв

,

найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Здесь Γ(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

приведен графики J(x) для α = 0,1,2:

Е сли α не является целым числом, функции J_v(x) и J _{− v}(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)

4 .Функции Бесселя второго рода:

Функции Бесселя второго рода — решения Y_α(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x = 0.

Y_α(x) также иногда называют функцией Неймана (Ньюмана) и обозначают как N_α(x). Эта функция связана с J_α(x) следующим соотношением:

где в случае целого α берётся предел по α, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

приведён график Y_α(x) для α = 0,1,2:

5.Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования на ,

, (7)

откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( – не целое) (8)

и дополняя это определение для (целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)