2.5.Определенный интеграл
В основе теории определенного интеграла лежит понятие интегральной суммы для заданной функции f(x) на рассматриваемом промежутке [a,b]. Эта сумма составляется следующим образом. Промежуток [a, b] разбивается от точки a до точки b произвольно на n частей точками х1, х2, … .хn-1 так, что
a1=x0<x1<x2,…<xn-1<xn=b.
В каждом частичном
промежутке [xk;xk+1]
длиной
(k=0,1,2,…n-1)
произвольным способом выбирается точка
и составляется сумма произведений
значений функции f(x)
в точках
на длины соответствующих промежутков
Эта сумма может быть записана в более компактном виде
.
Пусть последовательность
интегральных сумм
имеет конечный предел при стремлении
длин всех частичных промежутков к нулю
(при этом n
стремится к бесконечности), и этот предел
не зависит ни от способа разбиения
исходного промежутка, ни от выбора точек
,
принадлежащих частичным промежуткам,
то такой предел называется определенным
интегралом от функции f(x)
на промежутке [a,b]
и обозначается
.
В этом случае функция f(x)
называется интегрируемой на [a,b].
Поскольку стремление длин всех частичных промежутков к нулю эквивалентно стремлению к нулю длины наибольшего из этих промежутков, то по определению
Как и в случае неопределенного интеграла:
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования.
Промежуток [a, b] называется промежутком интегрирования, a и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
О
пределенный
интеграл имеет простой геометрический
смысл. Если функция f(x)
непрерывна и неотрицательна на
промежутке [a,
b],
то определенный интеграл от нее на [a,
b]
численно равен площади криволинейной
трапеции, образованной графиком функции
f(x),
осью 0х
и прямыми х=а
и х=b.
Рис.9
2.5.1. Основные свойства определенного интеграла
(1) 
(2) 
,
где С
– const.
(3) 
.
(4) 
Свойство (4) справедливо при любом взаимном расположении точек a, b, c и при условии интегрируемости функции на каждом из этих интервалов.
2.5.2. Вычисление определенного интеграла
Основной способ вычисления определенных интегралов основан на использовании связи между определенным и неопределенным интегралами от рассматриваемой функции. Следствием этой связи является формула Ньютона-Лейбница, которая имеет вид:
Где F(x) – любая первообразная для f(x) на промежутке [a, b]. Таким образом, значение определенного интеграла от данной функции f(x) на интервале [a, b] равно разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример 23.
Пример 24.
.
Пример 25.
Поскольку формула Ньютона-Лейбница позволяет легко выразить определенный интеграл через значения первообразной для подынтегральной функции, то, очевидно, что при вычислении определенных интегралов могут быть использованы основные методы вычисления неопределенных интегралов: метод подстановки и метод интегрирования по частям.
В случае определенного интеграла формула (13) замены переменной переходит в
где
а Ф(t)
- первообразная для функции
.
Отметим, что применение метода подстановки даже несколько упрощается, так как нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной в выражении, полученном для первообразной. Достаточно вычислить разность ее значений на верхнем и нижнем пределе изменения новой переменной.
Пример 26.
Произведем замену
переменной.
,
Пределы интегрирования х=0, t=0, x=4, t=2.
Пример 27.
.
Пределы интегрирования позволяют использовать для замены переменой тригонометрические функции.
x = sint, dx = cost∙dt; x = 0, t = 0; x = 1, t = π/2.
Формула интегрирования по частям применительно к вычислению определенного интеграла записывается как:
Пример 28.
Применяем метод интегрирования по частям, полагая:
,
Тогда:
Следовательно:
