Функціональний ряд. Ознака Вейєрштраса. Обчислення радіуса збіжності степеневих рядів

Функціональним рядом називається ряд складений з членів, які є функціями від аргументу 

При кожному конкретному значенні   із області визначення  функціональний ряд перетворюється на числовий.

Якщо для   числовий ряд   збігається, то кажуть, що функціональний ряд збігається в точці   , а саму точку називають точкою збіжності.

Множина всіх значень змінної  , при яких функціональний ряд збігається називається областю збіжності ряду. На практиці розглядають ряди, областями збіжності яких є різні інтервали осі  .

В точках із області збіжності ряду існують значення суми ряду  , а також можна встановити залежність між точками збіжності та значеннями сум. Таким чином, сума функціонального ряду є функцією  , область визначення якої ідентична області збіжності функціонального ряду. При цьому, кажуть, що функціональний ряд збіжний до функції   , або функція розкладається в ряд

в його області збіжності. Функціональний ряд вигляду

де  сталі коефіцієнти, називають степеневим рядом.

Часто розглядають степеневий ряд більш загального вигляду

де 

Ознака вейєрштрасса

Функціональний ряд вигляду

абсолютно і рівномірно збіжний на проміжку  , якщо існує знакододатний збіжний числовий ряд

такий, що для всіх  виконується умова

Ознака збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці  , то він збігається абсолютно в інтервалі

Якщо степеневий ряд розбіжний в точці , то він буде розбіжний для всіх   , що задовольняють умову

Число  називають радіусом збіжності степеневого ряду, а проміжок  - інтервалом збіжності (областю збіжності).Якщо всі коефіцієнти ряду ненульові, то радіус збіжності рівний наступній границі

при умові, що вона існує (скінченна чи нескінченна).

Для рядів вигляду

радіус збіжності визначається за формулою  , проте інтервал збіжності з нерівності

Теорема не дає відповіді про збіжність на кінцях інтервалу, тому їх слід перевіряти окремо за відомими ознаками збіжності.

Функціональний ряд. Ознака Вейєрштраса. Обчислення радіуса збіжності степеневих рядів

Функціональним рядом називається ряд складений з членів, які є функціями від аргументу 

При кожному конкретному значенні   із області визначення  функціональний ряд перетворюється на числовий.

Якщо для   числовий ряд   збігається, то кажуть, що функціональний ряд збігається в точці   , а саму точку називають точкою збіжності.

Множина всіх значень змінної  , при яких функціональний ряд збігається називається областю збіжності ряду. На практиці розглядають ряди, областями збіжності яких є різні інтервали осі  .

В точках із області збіжності ряду існують значення суми ряду  , а також можна встановити залежність між точками збіжності та значеннями сум. Таким чином, сума функціонального ряду є функцією  , область визначення якої ідентична області збіжності функціонального ряду. При цьому, кажуть, що функціональний ряд збіжний до функції   , або функція розкладається в ряд

в його області збіжності. Функціональний ряд вигляду

де  сталі коефіцієнти, називають степеневим рядом.

Часто розглядають степеневий ряд більш загального вигляду

де