15. Нечеткие множества. Основные определения.
Лашори Заде сформировал основы нечеткой логики. Кроме 1 и 0 ввел понятие не полной истины и лжи (используем [0,1]).
Нечеткие множества и специальные операции, которые позволяют работать с ними, дают делать выводы из нечеткой информации
µ - функция пренадлежности некоторого значения U к множеству со свойством М.
Вероятность – объективная оценка
Функция принадлежности – экспертная оценка
Допустим есть нечеткое множество, и получим нечеткий результат. Но входные и выходные данные должны быть четкими, поэтому:
Фаззификация – преобразование четкой в нечеткую.
Дефаззификация – обратное преобразование
Следует различать расплывчатую цель и расплывчатое решение (нечеткое):
Расплывчатая цель – описывается как нечеткое множество в некотором пространстве X>>Y. Ограничение х должно быть в пределах от 20 до 25
Расплывчатое решение – многошаговый процесс принятия решений в расплывчатых условиях.
xn+1=xn+Un n=0,1,2,3
-1≤U≤1
x5≈7
Нечеткое
множество
на универсальном множестве U –
совокупность пар {µ(xi),U(xi)}
Есть некоторая функция принадлежности которая описывает степень принадлежности. Поле нормальности температур:
Высота
нечеткого множества – max значение
значений функции принадлежности h
tg(
)=max(µi)
Нечеткое множество называется нормальным если его высота =1, в противном случае множество называется субнормальным, его нормализация производится путем деления его на мах значение.
Носитель НМ – значение универсального множества U для которого µі>0
supp( )={Ui:µi>0}
Ядро – значение носителя, для которого функция принадлежности является 1: core( ) = { Ui:µi=1}
16. Нечеткие множества. Основные операции.
Операции над нечеткими множествами – обобщение операций, производимых над обычными множествами.
1)
Дополнение:
;
2)
Пересечение:
;
3) Объединение нечетких множеств:
;
4) Декартово произведение; 5) Разность.
В нечетких множествах: 1) tнорма
(треугольная норма): бинарная операция
Т на единичном интервале [0,1], и
удовлетворяет следующим условиям:
T(a,1)=a – граничное условие;
если
– монотонность;
- коммутативность;
- ассоциативность. Наиболее часто
используют такие способы расчета
tнормы:
1)
- пересечение по Заде; 2)
(PROD-операция) – вероятностное пересечение;
3)
- пересечение по Лукасевичу. Пример:
1
– min, 2 – T(a,b)=a-b, 3) max. Для
операции объединения – треугольная
конорма Sнорма
определена
на единичном интервале S[0,1]. Условия:
1) S(a,0)=0; 2)
,
если
;
3)
;
4)
.
3 способа расчета: 1) S(a,b)=max(a,b) – по Заде;
2) S(a,b)=a+b-ab – вероятностное объединение;
3) S(a,b)=min(a+b,1) – по Лукасевичу.
1 – max; 2) вероятностное объединение; 3) по Лукасевичу.
18. Нечеткие отношения. Основные определения и операции.
Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений.
Основные определения
Теория нечетких отношений находит также приложение в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда связи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах "связь присутствует", "связь отсутствует", либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако, подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.
Обычное
неразмытое 
-арное
отношение 
определяется
как подмножество декартова
произведения
множеств
Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности
где
в общем случае будем считать, что 
—
это полная дистрибутивная решетка.
Таким образом,
—
это частично упорядоченное множество,
в котором любое непустое подмножество
имеет наибольшую нижнюю и наименьшую
верхнюю грани и операции пересечения
и объединения в
удовлетворяют
законам дистрибутивности. Все операции
над нечеткими
отношениями определяются
с помощью этих операций из
.
Например, если в качестве
взять
ограниченное множество вещественных
чисел, то операциями пересечения и
объединения в
будут,
соответственно, операции 
и 
,
и эти операции будут определять и
операции над нечеткими
отношениями.
Далее
мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных
нечетких отношений,
являющихся отображением на отрезок 
,
т.е. 
.
Если
множества 
и 
конечны, нечеткое
отношение
между
и
можно
представить с помощью его матрицы
отношения,
первой строке и первому столбцу которой
ставятся в соответствие элементы
множеств
и
,
а на пересечении строки 
и
столбца 
помещается
элемент 
(см. табл.2.1).
Таблица 2.1. |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0,5 |
0,8 |
|
0,7 |
0 |
0,6 |
0,3 |
|
0 |
0,7 |
1 |
0,4 |
В случае, когда множества и совпадают, нечеткое отношение называют нечетким отношением на множестве X.
В
случае конечных или счетных универсальных
множеств очевидна интерпретация нечеткого
отношения в
виде взвешенного графа, в котором каждая
пара вершин 
из 
соединяется
ребром с весом 
.
Пример. Пусть 
и 
,
тогда нечеткий граф, изображенный на
рис рис.
2.1,
задает некоторое нечеткое отношение 
.
Рис. 2.1.
Операции над нечеткими отношениями
Объединение и пересечение нечетких отношений определяется следующим образом:
Отношение
включения 
для нечетких
отношений определяется
с помощью отношения частичного порядка
на
:
Множество 
всех нечетких
отношений между
и
образует
дистрибутивную решетку по отношению
к операциям объединения и пересечения
и удовлетворяет следующим тождествам:
1. Идемпотентность:
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Дистрибутивность:
Выполнение этих тождеств для следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки . В выполняется также следующее соотношение:
Из полноты решетки следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Эти элементы определяют, соответственно, пустое и универсальное нечеткие отношения:
Следующее
соотношение определяет композицию 
нечетких
отношений
и 
:
Здесь 
обозначает
наименьшую верхнюю грань множества
элементов 
,
где
пробегает
все значения из
.
В силу полноты
эта
операция всегда определена.
Существуют
и другие варианты операции композиции,
которые определяются с помощью
дополнительных операций, выводимых
в
.
В зависимости от того, является
ли
множеством
векторов, множеством лингвистических
переменных или множеством чисел, эти
дополнительные операции будут иметь
соответствующий вид. Например,
если
является
множеством действительных чисел, то
операция 
может
быть заменена на операцию взятия
среднего арифметического, что дает
другое определение операции композиции:
В
случае 
мы
имеем
Замена
операции
на
операцию умножения дает следующее
определение композиции:
Нечеткое
отношение 
такое,
что
играет
по отношению к операции композиции
роль единицы: 
.
В теории четких отношений отношение Е
называется отношением
равенства.
Для
любого нечеткого
отношения
определяется
также обратное отношение 
:
Свойства нечетких отношений
Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.
1. Рефлексивность:
2. Слабая рефлексивность:
3. Сильная рефлексивность:
4. Антирефлексивность:
5. Слабая антирефлексивность:
6. Сильная антирефлексивность:
7. Симметричность:
8. Антисимметричность:
9. Асимметричность:
10. Сильная линейность:
11. Слабая линейность:
12. Транзитивность:
