Полная группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного из­делия образуют полную группу. Следовательно, сумма их ве­роятностей равна единице, и тогда искомая вероятность рав­на 0,95.

Противоположные события

Определение 2. Два единственно возможных события, обра­зующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попа­дание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взя­тых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение. События "среди взятых телевизоров нет ни од­ного неисправного" и "есть хотя бы один неисправный" — про­тивоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изде­лия из десяти, равно C . Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно C , так что вероятность Р(А) = C /С . Искомая вероятность опреде­ляется из формулы (17.4):

89. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные ис­ходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих со­бытию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А). Понятие веро­ятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное выше определение является классическим. Из него вы­текают некоторые свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число:

Следовательно, вероятность любого события удовлетворя­ет неравенству

Отметим, что современные курсы теории вероятностей ос­нованы на теоретико-множественном подходе, в котором эле­ментарные события являются точками пространства элемен­тарных событий Ω; при этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, А Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероят­ностей.

90. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них. 1.Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающимися только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! = 1?2?3 ? n, 0! = 1. Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение. P3 = 3! = 1?2?3 = 6. 2.Размешениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. An m =n!/(n-m)! Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решение . A 2 6 = 6! ?(6-2)! = 720 / 24 = 30. 3.Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хоты бы одним элементом. Cnm = n!/(m!(n-m)!). Пример 3. Скольким количеством способов можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Решение. C21 0 =10!/(2! ?8!) = 45. Подчеркнем что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством. Anm = PmCnm

91. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.

Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности).

Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события  знаком . Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле

, (2.3.1)

где – число появления события ;  – общее число произведенных опытов.

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится только два раза (частота появления герба будет равна 0,2); при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота все более теряет случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине. Например, при многократном бросании монеты частота появления герба будет лишь незначительно уклоняться от ½.

Это свойство «устойчивости частот», многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.

Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность собы-тия иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:

                                                                                                            (1.2)

где N – общее число опытов, М – число появлений события  А.

Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью рассматриваемого события.

Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

92. Вероятность противоположного события. Условная вероятность.

.

. Два единственно возможных события, обра­зующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попа­дание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взя­тых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение. События "среди взятых телевизоров нет ни од­ного неисправного" и "есть хотя бы один неисправный" — про­тивоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изде­лия из десяти, равно C . Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно C , так что вероятность Р(А) = C /С . Искомая вероятность опреде­ляется из формулы (17.4):

93. Сумма и произведение случайных событий. Теорема сложения вероятностей: для двух произвольных событий, для двух несовместных событий, для нескольких попарно несовместных событий.

Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий:

Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (17.3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множеств).

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично опре­деляется произведение нескольких событий, как совместное по­явление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких дру­гих ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Ес­ли же налагаются другие дополнительные условия, содержа­щие случайные события, то вероятность такого события назы­вается условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью Р_A(В).

Пример 1. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандарт­ные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в пер­вый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 дета­лей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая веро­ятность

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность Р_А(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

Решение. Итак, событие А — это извлечение из ящика не­стандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда воз­можны два случая. 1) Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность Р_A(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 17.3,

94. Теорема умножения вероятностей: для двух произвольных событий; для двух независимых событий; для нескольких событий, независимых в совокупности.

Событие В называется независимым от со­бытия А, если условная вероятность события В равна его без­условной вероятности (появление события А не влияет на ве­роятность события В):

Отсюда следует, что и событие А также независимо от со­бытия В:

Для независимых событий теорема умножения вероятностей 17.3 в общей форме, которая следует из (17.6), имеет вид

Равенство (17.7) принимается за определение независимых со­бытий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

Пример 4. Найти вероятность поражения цели при совмест­ной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (17.7), при n = 3:

Когда в результате испытания может иметь место n неза­висимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятнос­ти наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий найти вероятность наступления либо одного, ли­бо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через А. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность появления хотя бы одного из не­зависимых событий А₁, A₂, ... , А_n определяется формулой

где q_i = 1 — p_i — вероятности соответствующих противо­положных событий _i (i = 1, 2,... , n).

В частном случае, когда все события Аi имеют одинаковую вероятность р, из формулы (17.8) следует, что

Пример 5. В условиях примера 4 найти вероятность пораже­ния цели (хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе орудий.

Решение. Вероятности противоположных событий (про­махов) соответственно равны q₁ = 0,1, q₂ = 0,2, q₃ = 0,3. Иско­мая вероятность находится по формуле (17.8) при п = 3:

Из этого примера наглядно видно преимущество совместного воздействия случайных событий с целью достижения общего результата.

95. Формула полной вероятности.

Пусть события В₁, В₂, …, В_п несовместны и образуют пол­ную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется ра­венство

Пусть также событие А может наступить при условии появле­ния одного из событий В_i, причем известны как вероятности P(B_i), так и условные вероятности P_Bi(A) (i = 1, 2, ... , п). В таком случае формула для вероятности события А определя­ется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 6. Вероятность события А, появление которо­го возможно лишь при наступлении одного из несовместных событий B_i, образующих полную группу (i = 1, 2, ... ,п), рав­на сумме попарных произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления со­бытия А:

Пример 3. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой — 4 белых и 5 красных, во второй — 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую бело­го шара (событие В₁) и красного шара (событие В₂) образует полную группу независимых событий. Их вероятности соот­ветственно P(B₁) = 0,7 и Р(В₂) = 0,3. Условные вероятнос­ти извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны Р_B1(А) = 0,5 и Р_B2(А) = 0,4. Искомая вероятность находится по формуле (17.14) при п = 2:

96. Теорема Байеса.

Пусть события B₁, B₂, ..., В_п несовместны и образуют пол­ную группу, а событие А может наступить при условии появле­ния одного из них. События B_i называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез B_i по следующим формулам:

Формулы (17.15) называются формулами Байеса, по имени их автора. Они позволяют оценить вероятность гипотезы В_i во всех испытаниях, где наступает событие А. Иными слова­ми, зная вероятность Р(В_i) до проведения испытания, мы мо­жем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

Пример 5. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0,08. После изготовления все изделия подвергаются проверке, в результате которой изделия без брака признаются годными с вероятностью 0,95, а изделия с браком — с вероятностью 0,06. Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а так­же вероятность того, что выпущенное после проверки изделие окажется без брака.

Решение. Независимые события (гипотезы), образующие полную группу, — это B₁ (изделие без брака) и В₂ (изделие с браком). Пусть событие А заключается в том, что при проверке изделие признается годным. Ответ на первый вопрос задачи дает формула (17.14):

Следовательно, после проверки признаются годными около 88% всех изготовленных изделий.

Ответ на второй вопрос задачи дает формула Байеса (17.15) при п = 2 и i = 1:

Иными словами, среди изделий, прошедших проверку, содер­жится 99, 5% изделий без брака.

97. Формула Бернулли.

. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются неза­висимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испыта­ния, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тог­да вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из п ис­пытаний, определяется формулой Бернулли

Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т.е. р = q = 0,5. 1) В этом случае п = 6, k = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем

99. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

. Величину называют случайной, если в ре­зультате испытания она примет лишь одно возможное значе­ние, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество чи­сел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины пропис­ными буквами, а их возможные значения — строчными бук­вами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x₁ и х₂. Другой пример: случайная величина Y при­нимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятнос­тями, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Непрерывной называется случайная величи­на, которая может принимать все значения из некоторого про­межутка.

Закон распределения дискретной случайной величины мож­но изобразить графически, соединив в прямоугольной систе­ме координат ХОР точки (х_i, р_i) отрезками прямых. Так, на рис. 18.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фи­гура называется многоугольником распределения.

100. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.

Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом рас­пределения дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графи­чески. В случае табличного задания закона распределения дис­кретной случайной величины соответствующая таблица состо­ит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х = х₁, Х = х₂, …, Х = x_п образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

Если множество возможных значений Х дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд веро­ятностей сходится и его сумма равна единице:

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигры­шей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х возможного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x₁ = 20, x₂ = 10, x₃ = 1, x₄ = 0. Соответственно их вероятности равны: p₁ = 0,01, р₂ = 0,02, р₃ = 0,1, р₄ = 1 - (p₁ +p₂ + р₃) = 1 - 0,13 = 0,87. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

102. Биномиальный закон распределения.

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 17.5). В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, ..., x_n+1 = n. Вероятности этих возможных значений k даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (17.16)):

где q = 1 - р — вероятность противоположного события (непо­явление события А в одном испытании). Формула (18.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n незави­симых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (18.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (17.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (18.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй стро­ки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозвра­та кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вер­нувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (18.2), где р = 0,2, q = 0,8, k принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (18.3), при п = 5:

или окончательно:

103. Распределение Пуассона

105. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Определения числовых характеристик дискретных случай­ных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берутся их интегральные аналоги.

Определение 4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находят­ся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:

В том случае, когда возможные значения случайной вели­чины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны: а = - , b = . Возможны также случаи, ког­да один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения Х лежат на полупрямой).

Определение 5. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

106. Равномерное распределение.

Распределение вероятностей называется рав­номерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Пусть на интервале (a, b) плотность распределения являет­ся постоянной величиной: f(x) = С. Определим значение С из условия (18.35):

откуда получаем, что f(x) = С = 1/(b - а). Значит, искомая плотность равномерного распределения дается формулой

График плотности равномерного распределения указан на рис. 18.5.

107. Показательное распределение.

108. Нормальное распределение. Правило трех сигм.

Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью

Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

Определение 3. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным; его плотность равна

Рассмотрим функцию нормального распределения как пер­вообразную плотности распределения вероятностей. Для слу­чая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид

Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределен­ный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)

Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).

График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений а показан на рис. 18.6.

Определение 4. Модой М_о(Х) называется возможное значе­ние случайной величины X, при котором плотность распреде­ления имеет максимум.

Определение 5. Медианой М_е(Х) называется такое возмож­ное значение случайной величины X, что вертикальная пря­мая х = M_e(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Нетрудно видеть, что график плотности нормального рас­пределения симметричен относительно прямой х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математичес­ким ожиданием:

110. Выборочный метод. Задачи математической статистики.

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статис­тических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зави­симости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах пара­метров неизвестного распределения.

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исследование объекта требует нарушения его функцио­нального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают огра­ниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками. Гене­ральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупнос­тью (выборкой) называется совокупность случайно отобран­ных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если пос­ле исследования объект из выборки возвращается в генераль­ную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представитель­ной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.

111 Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений , образующих выборку, называется объемом выборки. Если объем выборки достаточно велик (n → ∞) выборка считается большой, в противном случае она называется выборкой ограниченного объема. Выборка считается малой, если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30), а при измерении одновременно нескольких (k) признаков в многомерном пространстве отношение n к k не превышает 10 (n/k < 10). Выборка образует вариационный ряд, если ее члены являются порядковыми статистиками, т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами.

Пример. Практически одна и та же случайно отобранная совокупность объектов — коммерческих банков одного административного округа Москвы, может рассматриваться как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков этого округа, и как выборка из генеральной совокупности всех коммерческих банков Москвы, а также как выборка из коммерческих банков страны и т.д.

По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе — качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.

Бесповторным называется отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в исходную совокупность и в дальнейшем выборе не участвует; при этом численность единиц генеральной совокупности N сокращается в процессе отбора. При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации возвращается в генеральную совокупность и таким образом сохраняет равную возможность наряду с другими единицами быть использованной в дальнейшей процедуре отбора; при этом численность единиц генеральной совокупности N остается неизменной (метод в социально-экономических исследованиях применяется редко). Однако, при большом N (N → ∞) формулы для бесповторного отбора приближаются к аналогичным для повторного отбора и практически чаще используются последние (N = const).

Репрезентативная выборка (representative sample) - одно из ключевых понятий анализа данных. Репрезентативная выборка - это выборка из генеральной совокупности с распределением F(x), представляющая основные особенности генеральной совокупности. Например, если в городе проживает 100 000 человек, половина из которых мужчины и половина женщины, то выборка 1000 человек из которых 10 мужчин и 990 женщин, конечно, не будет репрезентативной. Построенный на ее основе опрос общественного мнения, конечно, будет содержать смещение оценок и приводит к фальсификации результатов.

Необходимым условием построения репрезентативной выборки является равная вероятность включения в нее каждого элемента генеральной совокупности.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения дает при большом объеме выборки достаточно хорошее представление о функции распределения F(x) исходной генеральной совокупности.

Репрезентативная выборка – это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности, из которой извлечена данная выборка, представлены приблизительно в той же пропорции или с той же частотой, с которой данный признак выступает в этой генеральной совокупности.

112. Варианты, частоты и относительные частоты. Дискретный вариационный ряд.Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, трудно выявить какую-либо закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергают обработке. Рассмотрим пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1;4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4;2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Здесь число X является дискретной случайной величиной , а полученные о ней сведения представляют собой статистические (наблюдаемые) данные. Операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных. После проведения операции ранжирования опытные данные группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы. Расположив приведенные выше данные в порядке неубывания и сгруппировав их, получают ранжированный ряд данных наблюдения

Из ряда чисел видно, что все 60 значений случайной величины разбиты на семь групп, в пределах каждой из которых все значения случайной величины одинаковы. Таким образом, имеется семь различных значений случайной величины: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. Каждое такое значение обычно называют вариантом.

  Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантом, а изменение этого значения ­ варьированием.

Варианты будем обозначать малыми буквами конца латинского алфавита с соответствующими порядковому номеру группы индексами.

Для каждой группы сгруппированного ряда данных можно подсчитать их численность, т.е. определить число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений. Такие числа называют частотой варианта.

  Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой или весом соответствующего варианта и обозначается т_i , где i—индекс варианта.

В ряде случаев представляет практический интерес относительная частота того или иного варианта, называемая частостью.

  Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью или долей этого варианта и обозначается р_i , где i—индекс варианта, т.е.

 

Нетрудно заметить, что частость является статистической вероятностью появления варианта. Естественно считать частость выборочным аналогом (вычисленной по выборочным данным) вероятности р_i появления значения х_i, случайной величины X. Подсчитав частоты и частости для каждого варианта, наблюдаемые данные представляют в виде таблицы, которую называют дискретным вариационным рядом. В первой строке расположены- варианты , во второй- соответствующие частоты , в третьей- соответствующие частости.

  Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов х_i с соответствующими им частотами или частностями.

Для рассмотренного примера ряд имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	5	7
mi	8	17	16	10	6	2	1
	8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

По данным дискретного вариационного ряда строят

 полигон частот или относительных частот: ломаную, отрезки которой соединяют точки

113. Частота и относительная частота, соответствующие заданному интервалу. Интервальный вариационный ряд.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный (вариационный) ряд распределения. Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

114. Гистограмма и полигон.

Каждую пару значений (x_i, n_i) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точ­но так же можно рассматривать и пары значений (х_i, W_i) отно­сительного распределения выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки (x_i, n_i), называется полигоном частот. Ло­маная, соединяющая на координатной плоскости точки (x_i, W_i), называется полигоном относительных частот. На рис. 18.9 показан полигон относительных частот для распределения, приведенного в примере 2.

Для случая непрерывного признака Х удобно разбить ин­тервал (x_min, x_max) его наблюдаемых значений на несколько частичных интервалов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму частот n_j, попавших в него. Ступен­чатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h и высотами n_j/h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: нетрудно видеть, что площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки. На рис. 18.10 изображена гистограмма объ­ема n = 100.

Аналогичным образом определяется и гистограмма от­носительных частот: в этом случае высоты прямоугольни­ков, составляющих ступенчатую фигуру, определяются отно­шениями сумм относительных частот, попадающих в интервал (x_min + (j — 1)h, x_min + jh), к длине интервала h, т.е. величина­ми W_j/h. Нетрудно видеть, что площадь гистограммы относи­тельных частот равна единице (сумме относительных частот выборки).

115. Накопленные относительные частоты. Эмпирическая функция распределения. Кумулята.Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.  Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.  Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой. По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.

Количество баллов x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число учащихся n	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1

Решение.

Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.

Количество баллов	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Частота	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1
Накопленная частота n	1	2	4	7	11	15	21	26	29	32	34	35

116. Числовые характеристики выборки (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение).

Значения количественного признака х₁, х₂, ..., х_k в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвест­ного параметра теоретического распределения означает отыс­кание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра. Укажем виды статистических оценок.

Несмещенной называется статистическая оценка , мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

Смещенной называется оценка, при которой условие (18.51) не выполнено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Со­стоятельной называется статистическая оценка типа (18.50), которая при п > стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего, это средние. Генеральная средняя для изучаемо­го количественного признака Х по генеральной совокупности

и выборочная средняя

Если значения признака х₁, x₂, …, х_k в выборке имеют соответ­ственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, то последнюю формулу можно переписать в виде

Можно показать, что выборочная средняя (18.52) является не­смещенной оценкой; это аналог математического ожидания случайной величины.

117. Точечные статистические оценки неизвестных параметров теоретического распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные точечные оценки.

Задача оценивания параметров распределения генеральной – одна из основных задач математической статистики. На содержательном уровне задача оценивания параметров распределения формулируется так: располагая выборкой реализаций случайной величины Х, необходимо получить оценку неизвестного параметра генеральной совокупности а и ее статистические свойства.

Оценивание параметров распределения осуществляется в два этапа. На первом этапе, на основании выборки х1, х2, ... , ,хn ,строится статистика

,

значение которой при данной выборке х1, х2, ... , ,хn принимают за приближенное значение оцениваемого параметра а :

а .

Так как параметр генеральной совокупности оценивается числом, которое на числовой оси изображается точкой, то оценку называют точечной.

Для получения точечной оценки существует много статистик, которые могут быть использованы в качестве оценок. Поэтому второй этап оценивания состоит в выборе наилучшей оценки, что требует введения критерия качества получаемых оценок. Задача усложняется тем, что ввиду малого объема выборки требуется статистический подход к качеству оценки

По опытным данным (выборке) путем построения гистограммы или с помощью других средств можно попытаться выбрать вероятностную модель (определить закон распределения генеральной совокупности). При этом выборочные данные позволяют уточнить детали вероятностной модели. Знание вероятностной модели дает возможность прогнозировать будущие события, что важно для принятия решений. В приложениях обычно задаются определенным типом закона распределения генеральной совокупности (плотностью распределения)

f = f(x; a1, a2, ..., am)

и по данным случайной выборки х1, х2, ..., хn оценивают неизвестные параметры a1, a2, ..., am . Чаще всего параметрами являются генеральное среднее и дисперсия, а качестве оценки тогда используют выборочные характеристики: выборочное среднее и выборочную дисперсию.